如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=2CD.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 21:23:55
如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=
2 |
证明:连接AD,BD,过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=
1
2∠ACB=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=
2
2CA,在Rt△BCN中,CN=
2
2CB,
∴CM+CN=
2
2(CA+CB),
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,
∠ADM=∠DBN
∠AMD=∠DNB=90°
AD=BD ,
∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=
2
2(CA+CB),
∴CA+CB=
2CD.
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=
1
2∠ACB=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=
2
2CA,在Rt△BCN中,CN=
2
2CB,
∴CM+CN=
2
2(CA+CB),
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,
∠ADM=∠DBN
∠AMD=∠DNB=90°
AD=BD ,
∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=
2
2(CA+CB),
∴CA+CB=
2CD.
如图,在RT△ABC中,∠ACB=90°.圆O为△ABC的外接圆,D为圆O上一点,且CD平分∠ACB,若BC=6,AC=
如图,圆O中,AB为直径,CD平分角ACB,交圆O于D,求证:CA+CB/CD=根2
如图Rt△ABC中∠ACB=90°CD⊥AB垂足为D.AF平分∠CAB交CD于点E交CB于点F求证:CE=CF.
如图,已知在△ABC中,角ACB=90°,M为AB中点,DM⊥AB,CD平分∠ACB求证MD=AM
如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,BF平分∠ABC,CD⊥AB于D,CD交BF于点G,GE‖CA,求证CE与
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.求证:∠CE
如图,RT△ABC中,角ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F(1)求证:C
如图 已知△ABC中 ∠ACB=90° CA=CB CD⊥AB于D,CE平分∠BCD交AB于E,AF平分∠A交CD于F.
如图,等腰直角△ABC中,CA=CB,点E为△ABC外一点,CA=CE,CD平分∠ACB交AE于D,且∠CDE=60°,
如图,在△ABC中,D为AB边上一点,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°.
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AO平分∠BAC,交CD于O,E为AB上一点,OE平行BC,求证:O
如图CE,CB分别为△ABC,△ADC的中线,AB=AC,∠ABC=∠ACB,求证CD=2CE