神马作文网数项级数和函数项级数有什么区别?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 23:12:15
数项级数和函数项级数有什么区别?
函数项级数和数项级数区别顾名思义就是函数与数的区别；
1）前者每项都是函数,级数和也是函数,而后者每项都是数,级数和也是数
2）前者是否收敛要看x的取值,也就是说收敛是有收敛域的,后者是否收敛可以直接判断
简单理解为前者是函数相加,后者是数相加；
举个例子吧
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
1 - (1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^4 + (1/5)x^5 - ...
下面做一对比,对比的内容是一一对应的,希望你认真看一下,
第一个是数项级数.
（1）它的通项是个“数”,即an=[(-1)^(n-1)]/n.
（2）它的敛散性是确定的,因为这里面都是“数”,没有变量,所以最后结果要么收敛,要么发散,是确定的,两者只能取其一.
（3）对于数项级数,考试的题目只有一句话,“判断这个级数是收敛还是发散?”,原因就是上面说的,它的敛散性是确定的,你要做的是判断出它到底收敛还是发散!
（4）解题步骤一般是：
先判断通项极限是不是为0,如果不是则直接写发散；如果是,再判断是正项级数还是交错级数（我举得例子是交错级数）,如果是正项级数,用比值审敛法,比较审敛法等判断,如果是交错级数,用莱布尼兹审敛法判断.本题用莱布尼兹审敛法,交错级数的通项递减且趋于0,所以收敛.
第二个是函数项级数
（1）它的通项是个函数,说白了就是通项里含有变量x,即an=[(-x)^(n-1)]/n.
（2）它的敛散性是不确定的,因为x取不同的值的时候,他就是不同的数项级数,（比如x=1就和第一个例子的级数一样,x=2就又变成另一个级数了）.这些不同的数项级数有的发散有的收敛.取决于x取什么值.
（3）对于函数项级数,考试的题目一般是,“求这个函数项级数的收敛域和收敛区间”,说白了就是问你：“x取什么值的时候,这个级数收敛,x取什么值的时候,这个级数发散?”
（4）解题步骤一般是：
先算出收敛半径,（比如我举得例子,算出收敛半径是1）,那就是说,这个函数项级数在±1之内都是收敛的,比如x=0.9代入,肯定收敛的；而在±1之外是发散的,比如x=1.1代入,肯定是发散的.但是端点-1和+1的情况还不知道,需要另外判断.方法就是直接代入-1和+1,变成两个数项级数来判断.最终得到,-1时发散,而+1时收敛.所以最终考卷上写：x属于(-1,1]时,收敛.
祝您学业进步!
再问： 收敛半径是对于所有函数项级数都存在还是只存在于幂级数？ 数项级数是否就是无穷级数，只是叫法不一样？
1）前者每项都是函数,级数和也是函数,而后者每项都是数,级数和也是数
2）前者是否收敛要看x的取值,也就是说收敛是有收敛域的,后者是否收敛可以直接判断
简单理解为前者是函数相加,后者是数相加；
举个例子吧
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
1 - (1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^4 + (1/5)x^5 - ...
下面做一对比,对比的内容是一一对应的,希望你认真看一下,
第一个是数项级数.
（1）它的通项是个“数”,即an=[(-1)^(n-1)]/n.
（2）它的敛散性是确定的,因为这里面都是“数”,没有变量,所以最后结果要么收敛,要么发散,是确定的,两者只能取其一.
（3）对于数项级数,考试的题目只有一句话,“判断这个级数是收敛还是发散?”,原因就是上面说的,它的敛散性是确定的,你要做的是判断出它到底收敛还是发散!
（4）解题步骤一般是：
先判断通项极限是不是为0,如果不是则直接写发散；如果是,再判断是正项级数还是交错级数（我举得例子是交错级数）,如果是正项级数,用比值审敛法,比较审敛法等判断,如果是交错级数,用莱布尼兹审敛法判断.本题用莱布尼兹审敛法,交错级数的通项递减且趋于0,所以收敛.
第二个是函数项级数
（1）它的通项是个函数,说白了就是通项里含有变量x,即an=[(-x)^(n-1)]/n.
（2）它的敛散性是不确定的,因为x取不同的值的时候,他就是不同的数项级数,（比如x=1就和第一个例子的级数一样,x=2就又变成另一个级数了）.这些不同的数项级数有的发散有的收敛.取决于x取什么值.
（3）对于函数项级数,考试的题目一般是,“求这个函数项级数的收敛域和收敛区间”,说白了就是问你：“x取什么值的时候,这个级数收敛,x取什么值的时候,这个级数发散?”
（4）解题步骤一般是：
先算出收敛半径,（比如我举得例子,算出收敛半径是1）,那就是说,这个函数项级数在±1之内都是收敛的,比如x=0.9代入,肯定收敛的；而在±1之外是发散的,比如x=1.1代入,肯定是发散的.但是端点-1和+1的情况还不知道,需要另外判断.方法就是直接代入-1和+1,变成两个数项级数来判断.最终得到,-1时发散,而+1时收敛.所以最终考卷上写：x属于(-1,1]时,收敛.
祝您学业进步!
再问： 收敛半径是对于所有函数项级数都存在还是只存在于幂级数？ 数项级数是否就是无穷级数，只是叫法不一样？
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