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设数列{an}的前n项和Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(n∈N*).

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/13 19:40:05
设数列{an}的前n项和Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(n∈N*).
(1)求证:数列{
1
S
设数列{an}的前n项和Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1(n∈N*).
(1)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0…(1);
代入n=1,得S1=a1=
1
2…(2);
当n>1时,
由an=Sn-Sn-1,代入式(1)得
Sn=
1
2−Sn−1
Sn-1=
1
2−Sn−1-1=
Sn−1−1
2−Sn−1

1
Sn−1-
1
Sn−1−1=-1
故数列{
1
Sn−1}为等差数列;
(2)再由(1)知数列{
1
Sn−1}是为以-2为首项,-1为公差数列

1
Sn−1=-1-n
∴Sn=
n
n+1
∴an=Sn-Sn-1=
1
n(n+1)