已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）

已知函数f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设F(x)＝

h(x)

f(x)

（1）解法1：不等式f（x）+g（x）≥0即ax²+bx+1≥0
由-1∈M，2∈M得

a−b+1≥0
4a+2b+1≥0----------------（2分）
画出不等式组所确定的可行域如右图示：作平行线族b=3a-z
可见当a=-0.5，b=0.5时z有最小值，，z_min=-2
∴z的取值范围为z≥-2．----------------------------------------（4分）
解法2：令h（x）=f（x）+g（x）由-1∈M，2∈M得h（-1）≥0，h（2）≥0
由

a−b+1＝h(−1)
4a+2b+1＝h(2)得

a＝
h(2)+2h(−1)−3
6
b＝
h(2)−4h(−1)+3
6-------------------------（2分）
∴3a−b＝
1
3h(2)+
5
3h(−1)−2
∵h（-1）≥0，h（2）≥0∴3a-b≥-2，即z的取值范围为z≥-2．------------（4分）]
（2）∵F(x)＝
lnx
bx∴F′(x)＝
1−lnx
bx2-----------------------------------（6分）
令F'（x）=0得1-lnx=0
∴x=e------------------------------------------------------------（7分）
∵当0＜x＜e时F′(x)＝
1−lnx
bx2＜0，当x＞e时F'（x）＞0
∴函数F（x）在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增--------------------------（9分）
（3）证法1：由（2）知当x=e时函数有最小值F(x)min＝F(e)＝
1
be
∴在（0，+∞）上恒有F(x)＝
lnx
bx≥
1
be，------------------------------------------------（11分）
∵b＜0∴
lnx
x≤
1
e当且仅当x=e时“=”成立
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤
1
ex--------------------------------------------------（12分）
∵
1+n
n＞0且
1+n
n≠e∴ln
1+n
n＜
1
e•
1+n
n⇒ln(
1+n
n)e＜
1+n
n
即对∀n∈N^*，不等式ln(
1+n
n)e＜
1+n
n恒成立．-----------------------------------------（14分）
〔证法2：构造函数p(x)＝lnx−
x
e，x∈（0，+∞）----------------------------------------（10分）
令p′(x)＝
1
x−
1
e=0得x=e
∵当0＜x＜e时p'（x）＞0，当x＞e时p'（x）＜0
∴函数p（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减----------------------（12分）
当x=e时函数p（x）有最大值p（x）_max=p（e）=0
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx−
1
ex≤0，即lnx≤
1
ex
∵
1+n
n＞0且
1+n
n≠e∴ln
1+n
n＜
1
e•
1+n
n⇒ln(
1+n
n)e＜
1+n
n
即对∀n∈N^*，不等式ln(
1+n
n)e＜
1+n
n恒成立．-----------------------------------------（14分）