正四棱柱ABCD-A1B2C3D4中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC ⑴证明A1C⊥平面BED,⑵求
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 14:24:59
正四棱柱ABCD-A1B2C3D4中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC ⑴证明A1C⊥平面BED,⑵求二面角A1-DE-B的大小
证明:连AC,BD交于点M,ME为平面ACC1A1与平面BDE的交线,设A1C过平面DEB交于点F则F必在交线ME上
(平面ACD与直线BD)
∵AC⊥BD,AA1⊥平面ABCD=>AA1⊥BD
AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C ∴BD⊥A1C
(平面ACC1A1内,RT△MCE与RT△AA1C)
CE:AC=1:2√2=CM:AA1=√2:4
所以△MCE∽△AA1C=>∠CME=∠AA1C ∠MEC=∠CME
所以∠CFM=∠CAA1=90°即A1C⊥ME
BD∩ME=M所以A1C⊥平面BDE
(2)
A1C⊥平面BDE 得A1C⊥DE
过F作DE垂线交DE与P则FP⊥DE A1F⊥DE A1F∩FP=F得DE垂直平面A1FP
所以DE⊥A1P
那么∠FPA1即为所求二面角
(求A1F长度)
在平面ACC1A1内
△ CFE∽△CC1A1 A1C=√((2√2)²+4²)=2√6
设CF长为x
则x:4=1:2√6 解得x=√6/3
所以A1F=A1C-CF=2√6-√6/3=5√6/3
(求PF长度)
△ BDE为等腰三角形 M为中点所以∠EMD=∠FPE=90°
∠FEP=∠PEF 所以△PEF∽△DME
PF:DM=FE:DE DE=√(1+2² )=√5
FE在△CEF中长为√(1²-(√6/3)²)=√3/3
DM=√2 解得PF=√30/15
(求A1P长度)
A1P为△A1DE的高
DE=√5 DA1=√(2²+4²)=2√5 A1E=√(C1E²+A1C²)=√((2√2)²+3²)=√17
由余弦定理
Cos∠EDA1=((√5 )²+(2√5)²- (√17)²)/(2×√5×2√5)=2/5
所以sin∠EDA1=√(1-(2/5)²)=√21/5
S△A1DE=1/2×A1D×DE×sin∠EDA1=1/2×DE×A1P
解得A1P=2√105/5
(求角FPA1)
△A1PF中 cos∠FPA1=((√30/15)²+(2√105/5)²-(5√6/3)²)/(2×√30/15×2√105/5)=√14/42
所以所求二面角为arccos√14/42
(平面ACD与直线BD)
∵AC⊥BD,AA1⊥平面ABCD=>AA1⊥BD
AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C ∴BD⊥A1C
(平面ACC1A1内,RT△MCE与RT△AA1C)
CE:AC=1:2√2=CM:AA1=√2:4
所以△MCE∽△AA1C=>∠CME=∠AA1C ∠MEC=∠CME
所以∠CFM=∠CAA1=90°即A1C⊥ME
BD∩ME=M所以A1C⊥平面BDE
(2)
A1C⊥平面BDE 得A1C⊥DE
过F作DE垂线交DE与P则FP⊥DE A1F⊥DE A1F∩FP=F得DE垂直平面A1FP
所以DE⊥A1P
那么∠FPA1即为所求二面角
(求A1F长度)
在平面ACC1A1内
△ CFE∽△CC1A1 A1C=√((2√2)²+4²)=2√6
设CF长为x
则x:4=1:2√6 解得x=√6/3
所以A1F=A1C-CF=2√6-√6/3=5√6/3
(求PF长度)
△ BDE为等腰三角形 M为中点所以∠EMD=∠FPE=90°
∠FEP=∠PEF 所以△PEF∽△DME
PF:DM=FE:DE DE=√(1+2² )=√5
FE在△CEF中长为√(1²-(√6/3)²)=√3/3
DM=√2 解得PF=√30/15
(求A1P长度)
A1P为△A1DE的高
DE=√5 DA1=√(2²+4²)=2√5 A1E=√(C1E²+A1C²)=√((2√2)²+3²)=√17
由余弦定理
Cos∠EDA1=((√5 )²+(2√5)²- (√17)²)/(2×√5×2√5)=2/5
所以sin∠EDA1=√(1-(2/5)²)=√21/5
S△A1DE=1/2×A1D×DE×sin∠EDA1=1/2×DE×A1P
解得A1P=2√105/5
(求角FPA1)
△A1PF中 cos∠FPA1=((√30/15)²+(2√105/5)²-(5√6/3)²)/(2×√30/15×2√105/5)=√14/42
所以所求二面角为arccos√14/42
如图所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC
正四棱柱ABCD~A1B1C1D1中 AA1=2 AB=4 点E在CC1上 且C1E=3EC 点F在BB1上 且BF=B
?正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上,且CE=λCC1 (1)λ为何值时,A1C垂
在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AA1=2,AB=1,点E是棱CC1的
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为CC1的中点.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是棱CC1上的点,且CE=四分之一CC1.求证A1C垂直于平面BDE
高一数学, 证明题,求高手 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中 AB=2 AA1=根号2 点E是菱DD1的中点
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,点E为CC1的中点,点F为BD1的中点.
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点E、F分别是CC1、BD1的中点
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为AD中点,F为CC1中点.(1)求证AD垂直D1F(2)
如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上
已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=BC=1,AA1=2,点E为CC1的中点,点F为BD1的中点.