自旋为1/2的粒子为什么符合费米——狄拉克方程

自旋为1/2的粒子为什么符合费米——狄拉克方程

费米子(fermion)：自旋为半整数的粒子.比如电子、质子、中子等以及其反粒子.它们符合泡利不相容原理,以及费米－狄拉克统计：
由全同费米子组成的孤立系统,处于热平衡时,分布在能级εi的粒子数为,Ni＝gi/（e^(α+βεi）+1） .α为拉格朗日乘子、β＝1/（kT）,有体系温度,粒子密度和粒子质量决定.εi为能级i的能量,gi为能级的简并度.
4.15 费米-狄拉克统计法
在费米-狄拉克系集中,一个相格中只能容纳一个粒子或没有粒子.任何给定的系集中,存在一个费米能εF,当温度为零度时,该能量值以下的所有能态都是充满的.而当T＞0时,就可能激发到更高的能态ε.处于能量ε和akT的相对几率分别为
e-(ε-αkT)/kT和1 (4.93)
故当温度为T时,某个系集中能量为ε的能态被占有的相对几率为

在此,我们还没有规定能量akT.但在温度很低时,即当T～0时,akT必须接近于εF,因为费米函数

具有图4.14所示的形式.

ε-εF≠0,在(4.95)式中的指数的绝对值将很大,因而
当ε＜εF,F(ε)=1
当ε＞εF,F(ε)=0 (4.96)
这就造成了图4.14中的阶梯函数.当所有的能级都充满时,也即意昧着T=0时,我们就说费米气体完全简并了.当T＞0时F(ε)就不再是阶梯形,而是较平滑地延展的曲线.几率F(ε)与能量ε的乘积就给出了与能量ε相应的一切相格中所具有的能量的平均值.在求这个平均值时,空格及满格情况均需考虑在内

图4.14 费米函数F(ε)

我们知道在某一动量范围p到p+dp中的状态数为

但因

因而对一切ε值积分求得的粒子总平均能量为

对温度T=0的一个粒子系集,再令akT等于费米能εF,我们有

可以证明,当T＞0时,εF＜εF0.即费米能略为有所减小.
当ε-εF>>kT,也即在粒子能量很大的极限条件下,我们有

对高能的费米子,F(ε)接近于玻耳兹曼分布.
在恒星中心经常出现简并态.这主要是指电子,因为对一个给定的

倍.因而低能电子态远比高能质子态容易被充满,也即电子容易简并化.
问题4.23 假定宇宙充满了完全简并态的中微子,在中微子温度Tv=0时其能量在φv以下.试证明中微子的质量密度（即能量密度除以c2）ρv为

注意中微子仅存在一种自旋状态而不是两种（Wa67）.
尽管电子和质子确实是费米子,但为什么在许多天体物理状况中,它们好象具有麦克斯韦-玻耳兹曼粒子的性质呢?为了说明这一点,我们看下面的情况.对经典粒子我们能象推导费米-狄拉克分布一样推导出它们的速度分布.假定粒子可以在动量和尺度空间占有任意的位置,这就等于说相格为无限小.只要规定普朗克常数在极限情况下趋于零：h→0,我们就可得到这样的系统.这种情况下就使得εF=0,因为这时可以有任意多的粒子能量取零值,或近似为零值.于是式(4.93)中的几率就变为e-ε/kT及1.现在我们把系集中动量值为p左右的粒子数写为

对一切p值积分得

式中C为比例常数.这是一个误差函数积分,积分值就是粒子总数

因而

最后有

这个结果前面已得到过.
在处理恒星大气和行星大气中粒子的运动、恒星内部的非简并态物质、以及行星际和星际的气体及尘埃微粒随机运动的情况等所有这类问题中,麦克斯韦-玻耳兹曼统计法都有应用.在某些恒星动力学问题中,恒星可视为是一个系集中互相作用着的粒子,此时也可以应用这种统计法.星系团中运动的星系也认为是服从麦克斯韦-玻耳兹曼统计法的.因而在下一节中所推导的公式在天体物理学中有着广泛的应用.