已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 04:17:27
已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)单调增区间;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
(1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)单调增区间;
(3)若存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
(1)∵f(x)=ax+x2-xlna,
∴f′(x)=axlna+2x-lna,
∴f′(0)=0,f(0)=1
即函数f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为0,
∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(3分)
(2)由于f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna>0
①当a>1,y=2x单调递增,lna>0,所以y=(ax-1)lna单调递增,故y=2x+(ax-1)lna单调递增,
∴2x+(ax-1)lna>2×0+(a0-1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当0<a<1,y=2x单调递增,lna<0,所以y=(ax-1)lna单调递增,故y=2x+(ax-1)lna单调递增,
∴2x+(ax-1)lna>2×0+(a0-1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
综上,函数f(x)单调增区间(0,+∞);(8分)
(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,
所以当x∈[-1,1]时,|(f(x))max-(f(x))min|
=(f(x))max-(f(x))min≥e-1,(12分)
由(2)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,
所以当x∈[-1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,
(f(x))max=max{f(-1),f(1)},
而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(
1
a+1+lna)=a-
1
a-2lna,
记g(t)=t-
1
t-2lnt(t>0),
因为g′(t)=1+
1
t2-
2
t=(
1
t-1)2≥0(当t=1时取等号),
所以g(t)=t-
1
t-2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,
所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0,
也就是当a>1时,f(1)>f(-1);
当0<a<1时,f(1)<f(-1)(14分)
①当a>1时,由f(1)-f(0)≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e,
②当0<a<1时,由f(-1)-f(0)≥e-1⇒
1
a+lna≥e-1⇒0<a≤
1
e,
综上知,所求a的取值范围为a∈(0,
1
e]∪[e,+∞).(16分)
∴f′(x)=axlna+2x-lna,
∴f′(0)=0,f(0)=1
即函数f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为0,
∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(3分)
(2)由于f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna>0
①当a>1,y=2x单调递增,lna>0,所以y=(ax-1)lna单调递增,故y=2x+(ax-1)lna单调递增,
∴2x+(ax-1)lna>2×0+(a0-1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当0<a<1,y=2x单调递增,lna<0,所以y=(ax-1)lna单调递增,故y=2x+(ax-1)lna单调递增,
∴2x+(ax-1)lna>2×0+(a0-1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
综上,函数f(x)单调增区间(0,+∞);(8分)
(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1,
所以当x∈[-1,1]时,|(f(x))max-(f(x))min|
=(f(x))max-(f(x))min≥e-1,(12分)
由(2)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,
所以当x∈[-1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,
(f(x))max=max{f(-1),f(1)},
而f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(
1
a+1+lna)=a-
1
a-2lna,
记g(t)=t-
1
t-2lnt(t>0),
因为g′(t)=1+
1
t2-
2
t=(
1
t-1)2≥0(当t=1时取等号),
所以g(t)=t-
1
t-2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,
所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0,
也就是当a>1时,f(1)>f(-1);
当0<a<1时,f(1)<f(-1)(14分)
①当a>1时,由f(1)-f(0)≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e,
②当0<a<1时,由f(-1)-f(0)≥e-1⇒
1
a+lna≥e-1⇒0<a≤
1
e,
综上知,所求a的取值范围为a∈(0,
1
e]∪[e,+∞).(16分)
答案看不懂.已知函数f(x)=ax+x²-xlna(a>0,a≠1)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,
已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
已知函数f (x)=x3+32(1-a)x2-3ax+1,a>0.
已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R)
已知函数fx=a^x+x²-xlna,a>1,(1)证明fx在(0,正无穷)上单调递增(2)函数y=
求函数f(x)=a^n(a>0,a不等于1)的导数.图中f'(x)=a^xlna怎么由上一步的来?
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
基本初等函数导数公式中f(x)(a>0,且a≠1,x>0),则f’(x)=1/xlna的推导公式
已知函数f(x)=ax−1ax+1(a>0且a≠1).
已知函数f(x)=lg(x2-2ax+a).
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.