直线l过点M（2，1）且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 09:45:17

直线l过点M（2，1）且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）当△OAB的面积最小时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当|MA|•|MB|取最小值时，求直线l的方程．

（I）设直线l方程为
x
a+
y
b＝1（a、b均为正数），
∵l过点M（2，1），
∴
2
a+
1
b＝1．
∵1=
2
a+
1
b≥2

2
a•
1
b，化简得ab≥8，当且仅当
2
a＝
1
b时，即a=4，b=2时，等号成立，
∴当a=4，b=2时，ab有最小值8，
此时△OAB面积为S=
1
2ab=4达到最小值．

直线l的方程的方程为
x
4+
y
2＝1，即x+2y-4=0．
（II）过M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、N
设∠MAP=α，则Rt△MPA中，
sinα=
|MP|
|MA|，得|MA|=
|MP|
sinα=
1
sinα，
同理可得：|MB|=
2
cosα
∴|MA|•|MB|=
2
sinαcosα=
4
sin2α
∵sin2α∈（0，1]，
∴当2α=90°时，即α=45°时，sin2α=1达到最大值，|MA|•|MB|=
4
sin2α=4达到最小值，
此时直线l的斜率k=-1，得直线l方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．