神马作文网怎样证明993的993次方和991的991次方能被1984整除?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 04:06:36
怎样证明993的993次方和991的991次方能被1984整除?
991^2=(992-1)^2=992^2-2*992+1=1984(496-1)+1
同理993^2=1984(496+1)+1
因此991^991+993^993=(991^2)^495*991+(993^2)^496*993
除以1984的余数为可视为(991+993)除以1984,可整除
2.
n为奇数时,x+y|x^n+y^n,x-y|x^n-y^n
991^991+993^993
=(991^991+993^991)+(993^993-993^991)
=1984A+993^991(993^2-1)
=1984A+993^991(993+1)(993-1)
=1984A+993^991*(497)*(1984)
=1984A+1984B=1984(A+B)
故991^991+993^993可以被1984整除
3.
本题属特例,在2次方后余数即呈规律循环
但最好的做法还是先将被除数和除数分别因式分解
1984=2^6*31,991与2,31互质
2^(6-1)=32,故991^32(mod 64)=1,另991^30(mod 31)=1
[32,30]=480,故991^480(mod 1984)=1
但因2|480,检验得知991^2(mod 1984)=1
同理993=3*331,分开讨论后得知结果相同
因此(991^991+993^993)(mod 1984)
=(991+993)(mod 1984)=0
同理993^2=1984(496+1)+1
因此991^991+993^993=(991^2)^495*991+(993^2)^496*993
除以1984的余数为可视为(991+993)除以1984,可整除
2.
n为奇数时,x+y|x^n+y^n,x-y|x^n-y^n
991^991+993^993
=(991^991+993^991)+(993^993-993^991)
=1984A+993^991(993^2-1)
=1984A+993^991(993+1)(993-1)
=1984A+993^991*(497)*(1984)
=1984A+1984B=1984(A+B)
故991^991+993^993可以被1984整除
3.
本题属特例,在2次方后余数即呈规律循环
但最好的做法还是先将被除数和除数分别因式分解
1984=2^6*31,991与2,31互质
2^(6-1)=32,故991^32(mod 64)=1,另991^30(mod 31)=1
[32,30]=480,故991^480(mod 1984)=1
但因2|480,检验得知991^2(mod 1984)=1
同理993=3*331,分开讨论后得知结果相同
因此(991^991+993^993)(mod 1984)
=(991+993)(mod 1984)=0