已知：△ACD与△BCE都为等边三角形.

已知：△ACD与△BCE都为等边三角形.
求证：PA+PC=PD.

CD=CA,CB=CE,∠DCB=60°=∠ACE
∴△DCB≌△ACE,∴∠CDB=∠CAE
∴A,D,C,P四点共圆.下面可用两种方法来做
(1)可用代数三角函数来做
记ADCP外接圆半径为R,∠ADP=a,则∠PCA=a
则PA=2Rsina,PC=2Rsin(60°-a),PD=2Rsin(60°+a)
∴PA+PC=2R(sina+sin(60°-a))
=2R(sina+sin60°cosa-sinacos60°)
=2R(sin60°cosa+sinacos60°)
=2Rsin(60°+a)=PD
(2)也可以用纯几何来做
延长CP至点F,使得PF=PA,连接FA
则∠APF=180°-∠CPA=60°,∴PA=PF=AF
又AD=AC,∠DAP=60°+∠CAP=∠CAF
∴△DAP≌△CAF,即DP=CF=CP+PF=CP+PA
再问： 四点共圆？三角函数？你能不能用一个初三学生（五四学制）能掌握的正常方法来算呢？谢谢你！
再答： 四点共圆还没学习吗，那全等和相似的知识应该都学了吧 下面全是三角形全等和相似的知识 CD=CA，CB=CE，∠DCB=60°=∠ACE∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB 又对顶角∠ABP=∠DBC ∴△ABP∽△DBC，∴∠APB=∠DCB=60° 且BA/BD=BP/BC，即BA/BP=BD/BC 又对顶角∠PBC=∠ABD，结合对应边成比例 可知△ABD∽△PBC，∴∠CPB=∠DAB=60° ∴∠APC=∠APB+∠CPB=60°+60°=120° 延长CP至点F，使得PF=PA，连接FA则∠APF=180°-∠APC=180°-120°=60° ∴△PAF为等边△，∴FA=PA，∠PAF=60° 又AD=AC，∠DAP=60°+∠CAP=∠PAF+∠CAP=∠CAF ∴△DAP≌△CAF，即DP=CF=CP+PF=CP+PA
再问： 再给你留道题吧，看你这么厉害：原已知不变，分别作CF⊥BD，EG⊥PC，垂足分别是点F,G，若PC=5，BF=5/8（八分之五），求线段CG的长？另外，我可以建议你去申请优质回答，真的谢谢你！
再答： ∵∠FPC=60°，∴PC=2PF，即PF=5/2 ∴PB=PF-BF=5/2-5/8=15/8，CF=5√3/2 ∴BC=√(CF²+BF²)=35/8，即EC=BC=35/8 记DF=x，则CD²=x²+75/4 又由B到DC的高=√3BC/2=35√3/16 (∵∠DCB=60°) △DBC的面积=DC*(√3BC/2)/2=BD*CF/2 =>DC=[(5/8+x)*5√3/2]/[35√3/16]=8(5/8+x)/7=(5+8x)/7 =>DC²=(5+8x)²/49=x²+75/4 =>x=11/2 =>DC=7 而∠ECG=60°-∠PCE=60°-∠PDA=∠FDC ∴直角△DFC∽直角△EGC ∴GC/CE=FD/DC =>GC=FD*CE/DC=(11/2)*(35/8)/7=55/16