神马作文网已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 23:52:47
已知：a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．
证明：解法1 （分析法）要证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），（2分）
即证：a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ，（4分）
即证：2abcd≤a2d2+b2c2 ，（6分）
即证：0≤a2d2+b2c2-2abcd=（ad+bc）2，（8分）
上式明显成立．（10分） 故（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）（12分）
解法2 （综合法）因为a2d2+b2c2≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd（6分）≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2（9分）=（a2+b2）（c2+d2）（12分）
解法3 （作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2（2分）=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+b2d2+2abcd）（5分）
=b2c2+a2d2-2abcd（8分）=（b2c2-a2d2）2≥0（10分）
所以（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）． （12分）
即证：a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ，（4分）
即证：2abcd≤a2d2+b2c2 ，（6分）
即证：0≤a2d2+b2c2-2abcd=（ad+bc）2，（8分）
上式明显成立．（10分） 故（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）（12分）
解法2 （综合法）因为a2d2+b2c2≥2abcd（重要不等式）（3分）
所以（ac+bd）2=a2c2+b2d2+2abcd（6分）≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2（9分）=（a2+b2）（c2+d2）（12分）
解法3 （作差法）因为（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2（2分）=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+b2d2+2abcd）（5分）
=b2c2+a2d2-2abcd（8分）=（b2c2-a2d2）2≥0（10分）
所以（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）． （12分）
已知a,b,c,d∈R,求证ac+bd≤√〔(a2+b2)(c2+d2)〕
若a、b、c、d都是实数,求证：（a2+b2)(c3+d2）大于等于（ac+bd）2
用图说明公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．
已知a、b、c、d为实数,且满足a2+ b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0求证d2+b2=1,c2+a2=1,ad
已知实数a、b、c、d满足a2+b2=1，c2+d2=2，求ac+bd的最大值．
已知a，b，c，d都是整数，求证：（a2+b2）（c2+d2）是两个完全平方数的和．
已知a,b,c∈R+,求证：（a+b+c)(a3+b3+c3）≥（a2+b2+c2)2
若实数a.b.c.d都不等于0,且满足（a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0 求证b2=ac
已知a,b,c,d为实数,ad-bc=1,求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd不等于1 （最好用反证法）
a,b,c为实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证|ac+bd|
已知a、b、c满足(b2+c2-a2)/2bc+（c2+a2-b2）/2ac+（a2+b2-c2）/2ab=1
用分析法求证 已知a,b,c,d都是实数 且a2加b2等于1 c2加d2等于1 求证 绝对值ac加bd小于等于1