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设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/13 11:44:09
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax
(1)当a≥1时,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数;
(2)当0<a<1,试证函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数.
设函数f(x)=根号(x^2+1)-ax
(1)当a<=0时,-ax在[0,+∞)上递增,√(x2+1)在[0,+∞)也递增,
所以f(x)在[0,+∞)上递增,为单调函数.
(2)当a>0时,利用单调函数定义可以判断f(x)当a>=1时为单调减函数.
判断如下:假设0<x1<x2,f(x1)-f(x2)=
(√(x12+1)-ax1)-(√(x22+1)-ax2)=(√(x12+1)-√(x22+1))-a(x1-x2)
=(x12-x22)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a]
因为√(x12+1)+√(x22+1)>=x1+x2,
所以)(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1)<=1,
所以当a>=1时(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a]>=0成立,
则f(x)为减函数.
当a<1时)[(x1+x2)/(√(x12+1)+√(x22+1))-a]的正负不能确定,所以f(x)
不具有单调性.
综合得到函数f(x)在[0,+∞)上为单调性时,a的范围是;a<=0或a>1.
(下面附上,a=-1增函数,a=0.5有时减有时增不单调,a=1.5减函数,请你作比较和观察.)