已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,证:(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 18:26:49
已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,证:(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
如题
如题
证明:
令xi=2yi,其中i=1,2,…,n
从而X1X2…Xn=(2y1)(2y2)…(2yn)=2^n(y1y2…yn)=1
从而y1y2…yn=1/2^n=(1/2)^n=0.5^n
又因为
(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)
=(2+2y1)(2+2y2)...(2+2yn)
=2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
所以要证明(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
只需证明2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)>=3^n
即(1+y1)(1+y2)...(1+yn)≥3^n/2^n=(3/2)^n
由二项式定理,可得
(3/2)^n=(1+0.5)^n
=1+n×0.5
+0.5²n(n-1)/2
+…
+C(n,t)0.5^n
+…
+0.5^n ①
上式中的C(n,t)为从n个元素中取出t个元素的组合数.
又可知
(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
=1+(y1+y2+...yn)
+(y1y2+y1y3+...+y(n-1)yn)
+…
+(y1y2…yt+…)
+…
+y1y2…yn ②
上式中(y1y2…yt+…)表示从y1到yn这n个数中取t个数,相乘,再把所有这样的乘积相加
下面我们来证明②式中的每一项都大于或等于①式中的对应项.
第一项,都是1,是成立的.
第二项,由均值不等式,
(y1+y2+...yn)/n≥(y1y2…yn)^(1/n)= (0.5^n)^(1/n)=0.5
即y1+y2+...yn≥n×0.5
是成立的.
...
第t+1项(即一般项),同样由均值不等式,
(y1y2…yt+…)/C(n,t)≥[(y1y2…yt)×…]^(1/C(n,t))
=[(y1y2…yn)^C(n-1,t-1)]^(1/C(n,t))
=(y1y2…yn)^(t/n)
=(0.5^n)^(t/n)
=0.5^t ③
即(y1y2…yt+…)≥C(n,t)0.5^n
结论是成立的.
③式中的C(n-1,t-1)是说,把所有C(n,t)个这样y1y2…yt类型的式子相乘后,从y1到yn,都会重复得乘C(n-1,t-1)遍.
...
最后一项(第n+1项),都是y1y2…yn,结论是成立的.
证完.
注一:其实只需证明一般项即可.写出第一、二和第n+1项,是为了理解起来更直观.
注二:容易看出,用上面的证明思路可以证明更一般一些的结论:
已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+1)^n
当然也可推广到更一般一些的结论:
已知X1X2…Xn=p^n,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+p)^n
等号都是在x1=x2=...=xn时成立.
令xi=2yi,其中i=1,2,…,n
从而X1X2…Xn=(2y1)(2y2)…(2yn)=2^n(y1y2…yn)=1
从而y1y2…yn=1/2^n=(1/2)^n=0.5^n
又因为
(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)
=(2+2y1)(2+2y2)...(2+2yn)
=2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
所以要证明(2+X1)(2+X2)...(2+Xn)>=3^n
只需证明2^n(1+y1)(1+y2)...(1+yn)>=3^n
即(1+y1)(1+y2)...(1+yn)≥3^n/2^n=(3/2)^n
由二项式定理,可得
(3/2)^n=(1+0.5)^n
=1+n×0.5
+0.5²n(n-1)/2
+…
+C(n,t)0.5^n
+…
+0.5^n ①
上式中的C(n,t)为从n个元素中取出t个元素的组合数.
又可知
(1+y1)(1+y2)...(1+yn)
=1+(y1+y2+...yn)
+(y1y2+y1y3+...+y(n-1)yn)
+…
+(y1y2…yt+…)
+…
+y1y2…yn ②
上式中(y1y2…yt+…)表示从y1到yn这n个数中取t个数,相乘,再把所有这样的乘积相加
下面我们来证明②式中的每一项都大于或等于①式中的对应项.
第一项,都是1,是成立的.
第二项,由均值不等式,
(y1+y2+...yn)/n≥(y1y2…yn)^(1/n)= (0.5^n)^(1/n)=0.5
即y1+y2+...yn≥n×0.5
是成立的.
...
第t+1项(即一般项),同样由均值不等式,
(y1y2…yt+…)/C(n,t)≥[(y1y2…yt)×…]^(1/C(n,t))
=[(y1y2…yn)^C(n-1,t-1)]^(1/C(n,t))
=(y1y2…yn)^(t/n)
=(0.5^n)^(t/n)
=0.5^t ③
即(y1y2…yt+…)≥C(n,t)0.5^n
结论是成立的.
③式中的C(n-1,t-1)是说,把所有C(n,t)个这样y1y2…yt类型的式子相乘后,从y1到yn,都会重复得乘C(n-1,t-1)遍.
...
最后一项(第n+1项),都是y1y2…yn,结论是成立的.
证完.
注一:其实只需证明一般项即可.写出第一、二和第n+1项,是为了理解起来更直观.
注二:容易看出,用上面的证明思路可以证明更一般一些的结论:
已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+1)^n
当然也可推广到更一般一些的结论:
已知X1X2…Xn=p^n,且X1,X2…Xn都是正数,对任意正数m,有
(m+X1)(m+X2)...(m+Xn)≥(m+p)^n
等号都是在x1=x2=...=xn时成立.
设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+
X1·X2·X3·…·Xn=1,且X1,X2,…,Xn都是正数,求证(1+X1)(1+X2)…(1+Xn)>=2的n次
1,已知X1·X2·X3…·Xn=1,且X1,X2,…Xn都是正数,求证:
设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn
已知数列{xn}满足x1=3,x2=x1/2,...,xn=1/2(xn-1+xn-2),n=3,4,...,则xn等于
已知,x1.x2.x3.…xn=1(相乘),且x1,x2,x3,x4…xn都是正数,求证(1+x1)(1+x2)……(1
设x1,x2,……,xn是正数,求证(x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2用柯西
设x1.x2,.xn是正数,求证(x1+x2+……+xn)(1/x1 +1/x2 +……+1/xn )≥n^2关于柯西不
已知X1*X2*X3*…*Xn=1,且X1*X2*X3*…*Xn是正数 ,求证
已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则下面正确的是(
已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+
设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证 x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……