神马作文网一道求最小值的题目求解
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/14 17:25:13
一道求最小值的题目求解
a,b属于(0,正无穷大),a+3b=1,则1/√a＋1/√(3b)的最小值为?(不要复制)
a,b属于(0,正无穷大),a+3b=1,则1/√a＋1/√(3b)的最小值为?(不要复制)
很明显,a>=0且b>=0
1/√a+1/√3b=(√a+√3b)/√3ab=(√a+3b+2√3ab)/√3ab=(√(1+2√3ab))/√3ab
令t=√3ab则原式=(√1+2t)/t=e^ln(√1+2t /t)=e^(1/2ln(1+2t)-lnt)
判断y=1/2ln(1+2t)-lnt的单调性,y'=1/2*(1/(1+2t))-1/t=(1/2-t)/t(1+2t)
当t>1/2时y'1/2时y'>0,函数y单调递增,当t=1/2时y有最小值
故当√3ab=1/2时1/√a＋1/√3b有最小值为2√2
1/√a+1/√3b=(√a+√3b)/√3ab=(√a+3b+2√3ab)/√3ab=(√(1+2√3ab))/√3ab
令t=√3ab则原式=(√1+2t)/t=e^ln(√1+2t /t)=e^(1/2ln(1+2t)-lnt)
判断y=1/2ln(1+2t)-lnt的单调性,y'=1/2*(1/(1+2t))-1/t=(1/2-t)/t(1+2t)
当t>1/2时y'1/2时y'>0,函数y单调递增,当t=1/2时y有最小值
故当√3ab=1/2时1/√a＋1/√3b有最小值为2√2