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设数列{An}、{Bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列{Cn}不是等比数列.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 03:09:18
设数列{An}、{Bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列{Cn}不是等比数列.
设数列{An}、{Bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列{Cn}不是等比数列.
分析:设{an}、{bn}的公比分别为p、q,为证{cn}不是等比数列只需证c2^2≠c1•c3.利用等比数列的通项公式分别表示出an和bn,表示出c2^2的表达式,整理由于p≠q,推断出p^2+q^2>2pq,进而推断出c2^2≠c1•c3,进而可知{cn}不是等比数列.
设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠q,cn=an+bn.
为证{cn}不是等比数列只需证c2^2≠c1•c3.
事实上,c2^2=(a1p+b1q)^2=a1^2p^2+b1^2q^2+2a1b1pq,
c1•c3=(a1+b1)(a1p^2+b1q^2)=a1^2p^2+b1^2q^2+a1b1(p^2+q^2).
由于p≠q,p^2+q^2>2pq,又a1、b1不为零,
因此c2^2≠c1•c3,故{cn}不是等比数列.