（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/09/29 05:26:21

（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交

（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点M坐标为（2，6）．
设抛物线解析式为：y=a（x-2）²+6，
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4=4a+6，
解得a=−
1
2．
∴抛物线的解析式为：y=−
1
2（x-2）²+6=−
1
2x²+2x+4．

（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．

∵P（x，y），且点P在第一象限，
∴PE=y，OE=x，
∴DE=OE-OD=x-2．
S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE
=
1
2（4+y）•x-
1
2×2×4-
1
2（x-2）•y
=y+2x-4．
将y=−
1
2x²+2x+4代入上式得：S=−
1
2x²+2x+4+2x-4=−
1
2x²+4x．
在抛物线解析式y=−
1
2x²+2x+4中，令y=0，即−
1
2x²+2x+4=0，解得x=2±2
3．
设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+2
3，0），
∴0＜x＜2+2
3．
∴S关于x的函数关系式为：S=−
1
2x²+4x（0＜x＜2+2
3）．

（3）存在．
若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：
（I）OD=OP．
由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在．
（II）OD=OE．
若点E在y轴正半轴上，如答图2所示：

此时△OPD≌△OPE，
∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上，EO=DO=2，P点坐标为：（4，4），
∴直线PE的解析式为：y=
1
2x+2；
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．
（III）OD=PE．
∵OD=2，
∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2，
则点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合．
若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等；
若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形，

∴直线PE的解析式为：y=6．
综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=6，y=
1
2x+2．