神马作文网求助几个抽屉原理数学题目!
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/14 05:46:52
求助几个抽屉原理数学题目!
1、求证:一定存在这样的一个正整数,它的各位数码完全由0和1组成,并且是2005的倍数.
2、在100个连续的自然数1,2,3,···99,100中任意取出51个数.试证明：在这51个数中,一定有2个数,其中一个是另一个的倍数.
3、在不超过13位的自然数中,是否存在完全由0或7组成的数,它们是13的倍数?
4、任意给定10个正整数,求证：可以用减、乘两种运算把它们适当连接起来,使其能被1890整除.
5、证明：在2的一次方减1,2的二次方减1,2的三次方减一,··,2的n-1次方减1,这n-1个数中,至少有一个能被n整除.（其中n为大于1的奇数）
6、已知有6个点,每3点不共线.证明：以这些点为顶点的三角形中,一定有一个三角形的最大边是另一个三角形的最小边.
7、对平面上的每个点,分别涂上绿、红、蓝三种颜色的一种,证明：能够找到两个涂有相同颜色的点.他们之间的距离等于1.
8、3x7的方格,每个小方格任意染上黑色或白色,试证明：能够找到一个矩形,它的4个角上的方格同色.
1、求证:一定存在这样的一个正整数,它的各位数码完全由0和1组成,并且是2005的倍数.
2、在100个连续的自然数1,2,3,···99,100中任意取出51个数.试证明：在这51个数中,一定有2个数,其中一个是另一个的倍数.
3、在不超过13位的自然数中,是否存在完全由0或7组成的数,它们是13的倍数?
4、任意给定10个正整数,求证：可以用减、乘两种运算把它们适当连接起来,使其能被1890整除.
5、证明：在2的一次方减1,2的二次方减1,2的三次方减一,··,2的n-1次方减1,这n-1个数中,至少有一个能被n整除.（其中n为大于1的奇数）
6、已知有6个点,每3点不共线.证明：以这些点为顶点的三角形中,一定有一个三角形的最大边是另一个三角形的最小边.
7、对平面上的每个点,分别涂上绿、红、蓝三种颜色的一种,证明：能够找到两个涂有相同颜色的点.他们之间的距离等于1.
8、3x7的方格,每个小方格任意染上黑色或白色,试证明：能够找到一个矩形,它的4个角上的方格同色.
1：400人中至少有两个人的生日相同.
将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.
又如：我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.
“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套.”
“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同.”
2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.
解 ：从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种：（兔、兔）,（兔、熊猫）,（兔、长颈鹿）,（熊猫、熊猫）,（熊猫、长颈鹿）,（长颈鹿、长颈鹿）.把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.
3 证明：任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数.
分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数.
4：对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.
证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉：
[0],[1],[2]
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除.
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数（抽屉原理）,而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.
5：对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除.
证明：设这11个整数为：a1,a2,a3……a11 又6=2×3
①先考虑被3整除的情形
由例2知,在11个任意整数中,必存在：
3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1；
同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；
同理,其余的5个任意整数中,有：3|a7+a8+a9,设：a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则：6|b1+b2,即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.
将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同.
又如：我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.
“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套.”
“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同.”
2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.
解 ：从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种：（兔、兔）,（兔、熊猫）,（兔、长颈鹿）,（熊猫、熊猫）,（熊猫、长颈鹿）,（长颈鹿、长颈鹿）.把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.
3 证明：任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数.
分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数.
4：对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.
证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉：
[0],[1],[2]
①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除.
②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数（抽屉原理）,而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.
③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.
5：对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除.
证明：设这11个整数为：a1,a2,a3……a11 又6=2×3
①先考虑被3整除的情形
由例2知,在11个任意整数中,必存在：
3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1；
同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2；
同理,其余的5个任意整数中,有：3|a7+a8+a9,设：a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则：6|b1+b2,即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.