已知函数f(x)=x^2+bx+c,b c为实数,对于任意实数恒有,f'(x)≤f(x)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 11:10:19

已知函数f(x)=x^2+bx+c,b c为实数,对于任意实数恒有,f'(x)≤f(x)
（1）证明：当x>=0 时,f(x)

(1)
f(x)=x²+bx+c
f'(x)=2x+b
由题意,得
2x+b≤x²+bx+c恒成立
x²+(b-2)x+(c-b)≥0恒成立
∴(b-2)²-4(c-b)≤0
b²+4-4c≤0,即c≥1+ b²/4≥1,………………①
f(x)-(x+c)²=x²+bx+c-x²-2cx-c²=(b-2c)x+(c-c²)
∵b-c≤-b²/4+b-1=-(b/2 -1)²≤0
c-c²=c(1-c)在c≥1的范围内,恒为非负数
∴f(x)-(x+c)²在x≥0时,恒为非负数
即f(x)-(x+c)²≤0恒成立
即f(x)≤(x+c)²在x≥0时恒成立
得证
(2)
f(c)-f(b)=c²+bc+c-b²-b²-c=(c²-b²)+(bc-b²)=(c+b)(c-b)+b(c-b)=(c+2b)(c-b)
f(c)-f(b)-M(c²-b²)
=(c-b)(c+2b-Mc-Mb)≤0
∵c-b≥b²/4-b+1=(b/2-1)²≥0
∴如果上边的式子恒成立,则c+2b-Mc-Mb≤0,M≥(c+2b)/(c+b)=1 +1/【(c/b)+1】恒成立
当b＞0时,c/b≥1/b +b/4≥2*√[(1/b)(b/4)]=1,此时c/b +1≥2,1+ 1/【(c/b)+1】∈(1,3/2]
当b＜0时,c/b≤1/b +b/4≤-2√[(-1/b)(-b/4)]=-1,取等号时恒成立,不取等号时,此时c/b +1＞,1+1/【(c/b)+1】＞1,
当b=0时,c≥1,c(1-M)≤0恒成立,则1-M≤0,即M≥1恒成立
综上所述,M≥3/2时,以上所有情况恒成立
即M的最小值为3/2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足：对于任意实数x,都有f(x)>=x, f(x) 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的导数为f'(x)对于任意实数x,都有f(x)>=0. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a,b,c均为实数）,满足a-b+c=0,对于任意实数x都有f（x）-x≥0,并导数【小题】已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的导数为f'(x).f'(x)>0对于任意实数X有f(x)>0则f( 已知函数f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对于任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两二次函数f(x)=ax2+bx+c “对于任意实数x都有f(x)大于等于0的” 设二次函数f(x)=x^2+bx+c(b,c都是实数)已知A,B为任意实数,恒有f(sinA)=>0和f(2+cosb) 已知二次函数y=ax^2+bx+c同时满足下列条件,1.f(-1)=0.2.对于任意实数x,都有f(x)≥x 已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的导数为f '(x),f '(o)>0对于任意实数x 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足①对于任意实数,都有f（x）≥x,且当x∈（1,3）时,f（x）≤（x+2）2 已知二次函数f(x)=x^2+bx+c(b、c为常数)满足条件:f(0)=10,且对任意实数x,都有f(3+x)=f(3 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1