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极限思想的演变过程
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高等数学研究 V o l14,N o 13
40 STUD IES IN COLL EGE M A TH EM A T ICS Sep.,2001
微积分史话
Ξ
极限概念发展的几个历史阶段
王晓硕 (辽宁师范大学数学系,大连,116029)
极限概念是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限
理论是微积分学的基础,它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点.从古至今,
人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000 多
年的发展,演变成为近代严格的极限理论,在现代数学中,人们又引进了更广泛和更一般的极限概
念.这其中的思想演变是渐进的、相互推动的.本文针对极限概念在不同时期的特点给予粗略的概
述.
一、朴素的、直观的极限观
(
这种极限观在我国古代的文献中就有记载,最著名的是《庄子·天下篇》中记载的惠施 约前
) [ 4 ]
370——约前 310 的一段话:“一尺之锤,日取其半,万世不竭.” 公元 3 世纪,中国数学家刘徽
( )
263 年左右 成功地把极限思想应用于实践,其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割
圆术”.由于刘徽所采用的圆的半径为1,这样圆的面积在数值上即等于圆周率,所以说刘微成功地
创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边
5 ( )
形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6 边形、正 12 边形、…、直至 6 ×2 192 边形的面积.他利
r ·ln
( )
用公式 2n = · n 为内接正 边形的边长,2n 为内接2 边形的面积 来求正多边形的面积.
S n l n S n
2
刘徽认为,割得越细,圆内接正多边形与圆面积之差越小,即“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至
于不可割,则与圆和体,而无所失矣”.这就是割圆术所反映的朴素的极限思想.
刘徽的极限观念与古希腊的安蒂丰不谋而合.智人学派的安蒂丰( ,约前480——约
A n tiphon
前410) 在讨论化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,而内接正多
边形与圆周之间存在的空隙当多边形的边数不断加倍时被逐渐“穷竭”.后来,希腊数学家欧多克索
斯(Eudoxu s 约前400——约前 347) 建立了下列原理:“对于两个不相等的量,若从较大量中减去大
于其半的量,再从所余量中减去大于其半的量.继续重复这个步骤,则必有某个余量小于原来较小
[ 1 ]
的量.” 这就是近代分析中的阿基米德公理“∏ > 0,> 0,∈ ,使 > ”的原形.著名希腊数
a b n N na b
学家阿基米德( ,约前287——约前 212) 把上述方法成功地应用于许多面积和体积的计
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算.例如,在《方法》一书中,他证明了“抛物线弓形面积是同底等高三角形的三分之四”的结果.阿
( )
基米德是根据力学原理去发现问题,然后用欧多克索斯的原理和反证法 双重归谬法 来证明有关
结论的.从阿基米德的工作中,可以看到近代积分学中微元法基本思想的雏形,但是还没有求极限
的观念.尽管如此,阿基米德所创造的极富启发性的方法,获得了大量的辉煌成果,为后人开辟了广
阔的领域.
由安蒂丰提出,欧多克索斯完善的方法经阿基米德的工作发展到一个高峰.他们的工作到 17
世纪被重新研究,欧多克索斯原理被称为“穷竭法”.穷竭法所蕴涵的思想就是近代极限概念的雏
Ξ 收稿日期:2001—05—14.
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