神马作文网试问：这个可怜的小虫子是否能够爬到绳子 的那一端?这是一道数学题,要具体过程.
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/24 22:24:26
试问：这个可怜的小虫子是否能够爬到绳子 的那一端?这是一道数学题,要具体过程.
一个永远不会老死的虫子从一条橡皮绳的这一头向那一头挺进,
爬行速度相对于绳子为1厘米/秒.同时绳子刚开始长1米,以后
以1米/秒的速度伸长.试问：这个可怜的小虫子是否能够爬到绳子
的那一端?（说明：绳子伸长时,虫子爬过的那部分也在伸长.）
一个永远不会老死的虫子从一条橡皮绳的这一头向那一头挺进,
爬行速度相对于绳子为1厘米/秒.同时绳子刚开始长1米,以后
以1米/秒的速度伸长.试问：这个可怜的小虫子是否能够爬到绳子
的那一端?（说明：绳子伸长时,虫子爬过的那部分也在伸长.）
小虫每秒爬1cm,而且每爬1cm后,绳子拉长1m=100cm
第1秒：小虫爬了1cm,绳子长100cm,小虫1秒内爬了绳子全长的1/100 ;小虫一共爬了1/100 米
第2秒：小虫爬了1cm,绳子长200cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/200 ;小虫一共爬了1/100+1/200 米
第3秒：小虫爬了1cm,绳子长300cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/300 ;小虫一共爬了1/100+1/200+1/300 米
...
第n秒：小虫爬了1cm,绳子长n*100cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/n*100;小虫一共爬了1/100+1/200+1/300+...+1/n*100 米
...
设n秒后小虫爬到右边, n满足于条件：
1/100+1/200+1/300+...+1/n*100=1
1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n=100
显然 1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n 当n趋近于无穷大时是发散数列
既：n-->∞时, 1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n =∞
所以 n有解
既求解:1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n=100
设：1+1/2+1/3+1/4+.+1/n=S(n)
当n趋近于无穷大的时候
n
S(n)=Lim ∑(1/i)
n->∞ i=1
n
= Lim ∑(1/n)*(n/i)
n->∞ i=1
1
=∫ dx/x
0
因为∫dx/x = ln(x)
1+1/2+1/3+1/4+.+1/n=S(n)=100 时,
S(n)就是直角坐标系中,直线1/x=y , 直线x=1 和 直线x=1/n 所围成的图形面积
1
既：S(n)=∫ dx/x =ln(1)-ln(1/n)=-ln(1/n)=ln(n)=100
1/n
n=e^100
所以最后答案是：e的100次方秒后,小虫爬到绳子右边
第1秒：小虫爬了1cm,绳子长100cm,小虫1秒内爬了绳子全长的1/100 ;小虫一共爬了1/100 米
第2秒：小虫爬了1cm,绳子长200cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/200 ;小虫一共爬了1/100+1/200 米
第3秒：小虫爬了1cm,绳子长300cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/300 ;小虫一共爬了1/100+1/200+1/300 米
...
第n秒：小虫爬了1cm,绳子长n*100cm,小虫该秒内爬了绳子全长的1/n*100;小虫一共爬了1/100+1/200+1/300+...+1/n*100 米
...
设n秒后小虫爬到右边, n满足于条件：
1/100+1/200+1/300+...+1/n*100=1
1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n=100
显然 1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n 当n趋近于无穷大时是发散数列
既：n-->∞时, 1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n =∞
所以 n有解
既求解:1+1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/n=100
设：1+1/2+1/3+1/4+.+1/n=S(n)
当n趋近于无穷大的时候
n
S(n)=Lim ∑(1/i)
n->∞ i=1
n
= Lim ∑(1/n)*(n/i)
n->∞ i=1
1
=∫ dx/x
0
因为∫dx/x = ln(x)
1+1/2+1/3+1/4+.+1/n=S(n)=100 时,
S(n)就是直角坐标系中,直线1/x=y , 直线x=1 和 直线x=1/n 所围成的图形面积
1
既：S(n)=∫ dx/x =ln(1)-ln(1/n)=-ln(1/n)=ln(n)=100
1/n
n=e^100
所以最后答案是：e的100次方秒后,小虫爬到绳子右边