神马作文网这个数学题的第二小题怎么解?（复旦2003保送）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/20 23:08:40
这个数学题的第二小题怎么解?（复旦2003保送）
定义闭集合S,若a,b∈S,则a+b∈S,a-b∈S.
(2)求证：对任意两个闭集合S1,S2属于S,存在c属于R,但c不属于S1并S2.
PS:符号不好打,用文字代替了,见谅
定义闭集合S,若a,b∈S,则a+b∈S,a-b∈S.
(2)求证：对任意两个闭集合S1,S2属于S,存在c属于R,但c不属于S1并S2.
PS:符号不好打,用文字代替了,见谅
条件是S1,S2包含于R?如果是包含于的话,结论是错误的,因为此时可以取S1=S2=R
如果条件式S1,S2真包含于R,结论就相当于需要证明S1并S2不等于R,分情况讨论：
首先,由闭集合的定义可以得到以下结论：
(a)令a=b,则0=a-b∈S
(b)若a∈S,令k为整数,则ka∈S
然后定义一个概念：
集合的基：若a∈S,且a/2不属于S,且a不等于0,则称a是S的一个基（比如整数集合,1就是一个基,-1也是基,一个闭集合中可以有多个不同的基）
再讨论：
（A）若S1,S2之间存在包含关系,结论显然成立
(B)若S1与S2之间不存在包含关系,则存在x∈S1且x不属于S2且x是S1的一个基（这个结论可以用反证法证明）,则显然x/2就不属于S1,x/2也不能属于S2（否则的话x将属于S2）,但x/2属于R
综上,结论成立
不懂的欢迎追问,
再问： 为什么要用x／2呢？而不是x／3或者x／5？
再答： 因为有S1和S2呀
如果条件式S1,S2真包含于R,结论就相当于需要证明S1并S2不等于R,分情况讨论：
首先,由闭集合的定义可以得到以下结论：
(a)令a=b,则0=a-b∈S
(b)若a∈S,令k为整数,则ka∈S
然后定义一个概念：
集合的基：若a∈S,且a/2不属于S,且a不等于0,则称a是S的一个基（比如整数集合,1就是一个基,-1也是基,一个闭集合中可以有多个不同的基）
再讨论：
（A）若S1,S2之间存在包含关系,结论显然成立
(B)若S1与S2之间不存在包含关系,则存在x∈S1且x不属于S2且x是S1的一个基（这个结论可以用反证法证明）,则显然x/2就不属于S1,x/2也不能属于S2（否则的话x将属于S2）,但x/2属于R
综上,结论成立
不懂的欢迎追问,
再问： 为什么要用x／2呢？而不是x／3或者x／5？
再答： 因为有S1和S2呀