神马作文网如何推导出一元四次方程的求根公式?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/14 08:40:45
如何推导出一元四次方程的求根公式?
笛卡尔法：一般的四次方程还可以待定系数法解,这种方法称为笛卡尔法,由笛卡尔于1637年提出.
先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式.
令x=y-a/4,整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 （1）
设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数,得t+m-k^2=p,k(m-t)=q,tm=r
设k≠0,把t和m当作未知数,解前两个方程,得t=(k^3+pk-q)/(2k),m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三个方程,得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r .
即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解这个方程,设kο是它的任意一根,tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为 （y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四个根,各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根.
费拉里法
方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)
移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2)
两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将（2）式左边配成完全平方,
方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2
可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4)
（4）式中的y是一个参数.当（4）式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,（4）式都应成立.特别,如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程.
为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5)
这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值.
把由（5）式求出的y值代入（4）式后,（4）式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程.解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根.
先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式.
令x=y-a/4,整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 （1）
设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数,得t+m-k^2=p,k(m-t)=q,tm=r
设k≠0,把t和m当作未知数,解前两个方程,得t=(k^3+pk-q)/(2k),m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三个方程,得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r .
即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解这个方程,设kο是它的任意一根,tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为 （y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四个根,各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根.
费拉里法
方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)
移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2)
两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将（2）式左边配成完全平方,
方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2
可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4)
（4）式中的y是一个参数.当（4）式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,（4）式都应成立.特别,如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程.
为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5)
这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值.
把由（5）式求出的y值代入（4）式后,（4）式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程.解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根.