AD是ΔABC的角平分线,点E为AD边上一点,∠BEC=2∠BAC=120°BE=2CE,AE=2√3,则BC的长为多少
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 20:37:02
AD是ΔABC的角平分线,点E为AD边上一点,∠BEC=2∠BAC=120°BE=2CE,AE=2√3,则BC的长为多少
思考再三,未果.将余弦定理改为勾股定理.
设BC=a,CA=b,AB=c.作BM⊥AD于M,BN⊥CE于N.
易知∠BAE=⊿EAC=30°,ME=c/2,AM=c√3/2,ME=c√3/2-2√3,ME^2-AM^2=12-6c,
在△ABE中,由勾股定理,BE^2=BM^2+ME^2=AB^2-AM^2+ME^2=c^2+12-6c,
同理,CE^2=b^2+12-6b,
BE=2CE,
∴c^2+12-6c=4(b^2+12-6b),
c^2=4b^2-24b+36+6c,①
∠BEC=120°,∠BEN=60°,EN=BE/2=CE,BN=(√3/2)BE=√3CE,
BC^2=BN^2+CN^2=3CE^2+4CE^2=7CE^2,
∴a^2=7(b^2+12-6b),②
同理,a^2=b^2+c^2-bc
∴b^2+c^2-bc=7(b^2+12-6b)③
把①代入③,5b^2-24b+36+6c-bc=7b^2+84-42b,
c=(2b^2-18b+48)/(6-b),
代入①,(2b^2-18b+48)/(6-b)*(2b^2-12b+12)/(6-b)=4b^2-24b+36,
化简得(b^2-9b+24)(b^2-6b+6)=(b^2-6b+9)(b^2-12b+36),
b^4-15b^3+84b^2-198b+144=b^4-18b^3+117b^2-324b+324,
3b^3-33b^2+126b-180=0,
b^3-11b^2+42b-60=0,
(b^3-5b^2)-6(b^2-5b)+12(b-5)=0,
∴(b-5)(b^2-6b+12)=0,
解得b=5,或b^2-6b+12=0无实根.
代入②,a^2=49,
∴BC=a=7.
设BC=a,CA=b,AB=c.作BM⊥AD于M,BN⊥CE于N.
易知∠BAE=⊿EAC=30°,ME=c/2,AM=c√3/2,ME=c√3/2-2√3,ME^2-AM^2=12-6c,
在△ABE中,由勾股定理,BE^2=BM^2+ME^2=AB^2-AM^2+ME^2=c^2+12-6c,
同理,CE^2=b^2+12-6b,
BE=2CE,
∴c^2+12-6c=4(b^2+12-6b),
c^2=4b^2-24b+36+6c,①
∠BEC=120°,∠BEN=60°,EN=BE/2=CE,BN=(√3/2)BE=√3CE,
BC^2=BN^2+CN^2=3CE^2+4CE^2=7CE^2,
∴a^2=7(b^2+12-6b),②
同理,a^2=b^2+c^2-bc
∴b^2+c^2-bc=7(b^2+12-6b)③
把①代入③,5b^2-24b+36+6c-bc=7b^2+84-42b,
c=(2b^2-18b+48)/(6-b),
代入①,(2b^2-18b+48)/(6-b)*(2b^2-12b+12)/(6-b)=4b^2-24b+36,
化简得(b^2-9b+24)(b^2-6b+6)=(b^2-6b+9)(b^2-12b+36),
b^4-15b^3+84b^2-198b+144=b^4-18b^3+117b^2-324b+324,
3b^3-33b^2+126b-180=0,
b^3-11b^2+42b-60=0,
(b^3-5b^2)-6(b^2-5b)+12(b-5)=0,
∴(b-5)(b^2-6b+12)=0,
解得b=5,或b^2-6b+12=0无实根.
代入②,a^2=49,
∴BC=a=7.
如图,△ABC中,AD平分角BAC交BC于D,E为线段AD上的一点,且角BEC=角BAC=120°,若BE=2CE,AE
如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,E为线段AD上一点,且∠BEC=2∠BAC=120°,若BE=2CE,AE
△ABC中,D为BC中点,AD为BC边上的中线,E为AB上一点,连接EC,AE:BE=1:2,AD与CE交于点P,则AD
(2013•莆田质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AB上一点,以AE为
如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC边上一点,以AD为边作∠ADE=60°,DE与△ABC的外角平分线CE交于E点,
已知CE为△ABC的角平分线,D为BC上一点,AD交CE于F,若∠BAC=∠ADC≠90°,问AE=AF吗?
如图,△ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,AE:BE=1:2,AD与CE交于点P,则AD:PD=_____.
如图,已知在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD上一点,并且∠EAC=∠B,CE=CD.试说明DC是AD,AE的比
如图(2)在三角形ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的角平分线,AD,CE相交于点
三角形ABC中,AD是它的角平分线,E为AD上的一点,且AB.AE=AC.AD,求证CE=CD
在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E分别为AB,AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC与点F,过点F作
如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点