(2014•怀化一模)已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 06:03:46
(2014•怀化一模)已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,且f(1)=0.
(Ⅰ)求常数a,b,c的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)求常数a,b,c的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+
b
x,
∵f(x)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,
∴f′(e)=−
e−1
e,且f(e)=2-e,即a+
b
e=−
e−1
e,且ae+b+c=2-e,
又f(1)=a+c=0,解得a=-1,b=1,c=1…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)
∴g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)
∴g′(x)=2x−m+
m
x=
1
x(2x2−mx+m)(x>0)…(7分)
令d(x)=2x2-mx+m(x>0).
(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根,
即d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根,
又∵d(1)=2>0,当d(3)=0,即m=9时,d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根x=
3
2,当d(3)≠0时,应有d(3)<0,即2×32-3m+m<0,解得m>9,
∴m≥9.
(ⅱ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有两个根,
即二次函数d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有两个不等根,
所以
△=m2−4×2×m>0
d(1)=2−m+m>0
d(3)=2×32−3m+m>0
1<
m
4<3,解得8<m<9.
综上,实数m的取值范围是(8,+∞)…(13分)
b
x,
∵f(x)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,
∴f′(e)=−
e−1
e,且f(e)=2-e,即a+
b
e=−
e−1
e,且ae+b+c=2-e,
又f(1)=a+c=0,解得a=-1,b=1,c=1…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)
∴g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)
∴g′(x)=2x−m+
m
x=
1
x(2x2−mx+m)(x>0)…(7分)
令d(x)=2x2-mx+m(x>0).
(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根,
即d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根,
又∵d(1)=2>0,当d(3)=0,即m=9时,d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根x=
3
2,当d(3)≠0时,应有d(3)<0,即2×32-3m+m<0,解得m>9,
∴m≥9.
(ⅱ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有两个根,
即二次函数d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有两个不等根,
所以
△=m2−4×2×m>0
d(1)=2−m+m>0
d(3)=2×32−3m+m>0
1<
m
4<3,解得8<m<9.
综上,实数m的取值范围是(8,+∞)…(13分)
已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,且f(1)=0
已知函数f(x)=ax+blnx+c(abc为常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0且f(1)=0(1)
已知函数f(x)=ax+blnx+c(abc为常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0
已知函数f(x)=ax²-blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x-1.
已知函数f(x)=3的立方+ax的平方+bx+c(a b c都是常数)曲线y=f(x)在点x=1处的切线为3x-x+1=
已知函数f(x)=e的x次方(ax+b)的图像在点p(0.f(0))处的切线方程y=3x+1(e为自然对数的底数) (1
已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^(-x)(a不等于0)的图像过点(0,-2),且在该点的切线方程为4x-y-
已知函数f(x)=e的x平方(ax+b)-x的平方-4x,曲线y=f(x).在点(0,f,(0))处的切线方程为y=4x
已知函数f(x)=ax^4+bx^2+c的图像过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,则a和b为
已知函数f(x)=lnx-(a/x),g(x)=e^x(ax+1),a为常数
已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x>0,实数a、b为常数)若a+b=—2,且b<0,试讨论函数f(x)的零点的个
已知函数f(x)=ax+ b/x+c(a>0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1