1.扔六次骰子,令第i次得到的点数为ai,求存在k,使a1+.+ak=6的概率.（日本提供）

1.扔六次骰子,令第i次得到的点数为ai,求存在k,使a1+.+ak=6的概率.（日本提供）
2.设n属于正整数,且n>2,a1,a2.,an均>0,若a1*a2*.*an=1
证明：1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+an)>1
ps：若有原题,最好附原题及答案!

首先第一题：
若K＝1,概率是1/6；
若K＝2,概率是5/6*1/6；
解释下原因,因为是第K次使得a1+…+ak=6,可是前提是K=2,那么表示第一次只是掷出1至5其中的一位数,所以第一次掷出非6的概率是5/6,现在第二次要使得总和为6,那么概率是1/6,所以K=2的概率是5/6*1/6＝5/36;
若K＝3,共有10种可能性,分别是(1,1,4)(1,2,3)(1,3,2)(1,4,1)(2,1,3)(2,2,2)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)(4,1,1)因此K=3的概率是10/6^3；
若K=4,同理,共有10种可能性,分别是(1,1,1,3)(1,1,2,2)(1,1,3,1)(1,2,1,2)(1,2,2,1)(1,3,1,1)(2,1,1,2)(2,1,2,1)(2,2,1,1)(3,1,1,1),因此,K=4的概率是10/6^4；
若K=5,共有5种可能性,(1,1,1,1,2)(1,1,1,2,1)(1.1,2,1,1)(1,2,1,1,1)(2,1,1,1,1)因此,K=5的概率是5/6^5；
若K=6,只能一种可能性,就是六次全部掷1,其概率是1/6^6；
现在第二题：
证明这道题,首先证明一引理,对于任意n(n>1)个正数,恒有1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+an)>1/(1+a1*a2*…*an);用数学归纳法证明：
（1）当n=2时,需要证明：1/(1+a1)+1/(1+a2)> 1/(1+a1*a2),显然,通过移项通分相减[为求方便,分母为(1+a1) (1+a2) (1+a1*a2)不再列出],所得分子为(1+a2) (1+a1*a2)+ (1+a1) (1+a1*a2)－ (1+a1) (1+a2)=1+ a1*a2+ a1 ^2*a2+ a1*a2 ^2>0;所以当n=2时不等式成立；
（2）现在归纳当n=k－1时,不等式亦成立,则有1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[k－1])>1/(1+a1*a2*…*a[k－1])；
（3）当n=k时,需要证明1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[k－1])+1/(1+an)>1/(1+a1*a2*…*a[k－1]*ak)
不妨设1+a1*a2*…*a[k－1]＝t
由归纳（2）有1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[k－1])>1/(1+a1*a2*…*a[k－1])= 1/(1+t)
化简（3）的不等式为1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[k－1])+1/(1+ak)> 1/(1+t)+ 1/(1+ak)
再由归纳的（1）知：1/(1+t)+ 1/(1+ak)> 1/(1+t*an)= 1/(1+a1*a2*…*a[k－1]*ak);
因此综合得1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[k－1])+1/(1+an)>1/(1+a1*a2*…*a[k－1]*ak)成立,故当n=k时,引理不等式都成立.
证明了上述引理,我们来证明第二问,原不等式为1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+an)>1,证此不等式,只需要证明1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[n－1])>1－1/(1+an)＝an/(1+an)=1/1/(1+a1*a2*…*a[n－1])
注：其中an/(1+an)=1/1/(1+a1*a2*…*a[n－1])运用了a1*a2*.*an=1这一已知条件,将分子和分母同时除an.
现在我们通过化简所求证的不等式,只要证明1/(1+a1)+1/(1+a2)+...+1/(1+a[n－1])> 1/1/(1+a1*a2*…*a[n－1])
现在根据我前述引理,很容易就可以证明出来了.