一道积分的题目2·x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 11:05:47

一道积分的题目
2·x
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2 2
(x + x + 1)
求这个函数的积分,第三行的两个2分别是x和整个括号的平方.

说明：看不清楚,意思好像是求“∫2xdx/(x²+x+1)²”,对吧?解法如下.
原式=∫(2x+1-1)dx/(x²+x+1)²
=∫d(x²+x+1)/(x²+x+1)²-∫dx/(x²+x+1)²
=-1/(x²+x+1)-∫dx/[(x+1/2)²+3/4]²
设x+1/2=(√3/2)tant,则dx=(√3/2)sec²tdt,t=arctan[(2x+1)/√3],sin(2t)=√3(2x+1)/(x²+x+1)
∴原式=-1/(x²+x+1)-∫(√3/2)sec²tdt/[(3/4)sec²t]²
=-1/(x²+x+1)-(8√3/9)∫cos²tdt
=-1/(x²+x+1)-(4√3/9)∫[1+cos(2t)]dt
=-1/(x²+x+1)-(2√3/9)[2t+sin(2t)]+C (C是积分常数)
=-1/(x²+x+1)-(2√3/9){2arctan[(2x+1)/√3]+√3(2x+1)/(x²+x+1)}+C
=-(4x+5)/[3(x²+x+1)]-(4√3/9)arctan[(2x+1)/√3]+C.

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