神马作文网下面这个线性代数题,
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 07:04:27
下面这个线性代数题,
1、因为A*=(detA)A-1,所以A*与A有相同的特征向量,故α=(1,b,1)T是A的特征向量,设A的特征值为k
(A-kE）α=0得a=2,b=1,k=4或a=2,b=-2,k=1
k=4时特征向量为c(1,1,1)T符合.
k=1时特征向量为c1(1,0,-1)T+c2(0,1,-1)T与α线性无关,不合,舍去.
由a=2得detA=4,故A*的特征向量α对应特征值λ=4k^-1=1
所以,a=2,b=1,λ=1
2、解方程det(A-kE)=0得A的全部特征值为k1=1,k2=4
所以A*的全部特征值为λ=4k^-1=4或1
再问： 为什么A*与A的特征向量相同？
再答： A*=(detA)A-1 设A的特征值为k,对应特征向量为a,则Aa=ka,所以A^-1a=k^-1a,所以(detA)A^-1a=(detA)k-1a 即A*a=(detA)k-1a,这说明a是A*的特征向量，对应特征值为(detA)k-1 注：这个结论可以推广到关于A的多项式f(A)=a0E+a1A+……+anA^n,即(k,a)是A的特征组，则(f(k),a)是f(A)的特征组。
(A-kE）α=0得a=2,b=1,k=4或a=2,b=-2,k=1
k=4时特征向量为c(1,1,1)T符合.
k=1时特征向量为c1(1,0,-1)T+c2(0,1,-1)T与α线性无关,不合,舍去.
由a=2得detA=4,故A*的特征向量α对应特征值λ=4k^-1=1
所以,a=2,b=1,λ=1
2、解方程det(A-kE)=0得A的全部特征值为k1=1,k2=4
所以A*的全部特征值为λ=4k^-1=4或1
再问： 为什么A*与A的特征向量相同？
再答： A*=(detA)A-1 设A的特征值为k,对应特征向量为a,则Aa=ka,所以A^-1a=k^-1a,所以(detA)A^-1a=(detA)k-1a 即A*a=(detA)k-1a,这说明a是A*的特征向量，对应特征值为(detA)k-1 注：这个结论可以推广到关于A的多项式f(A)=a0E+a1A+……+anA^n,即(k,a)是A的特征组，则(f(k),a)是f(A)的特征组。