判断并证明y=x/x^+1在（0,+∞）上的单调性

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 17:56:20

y = x/x^2+1 = 1/(x+1/x)
分母x+1/x为对勾函数：
x＜-1时x+1/x单调增,y = 1/(x+1/x)单调减；
-1＜x＜0时x+1/x单调减,y = 1/(x+1/x)单调增；
0＜x＜1时x+1/x单调减,y = 1/(x+1/x)单调增；
x＞1时x+1/x单调增,y = 1/(x+1/x)单调减.
x∈R,∴y = 1/(x+1/x)单调减区间（-∞,-1）U（1,+∞）,单调增区间（-1,1）
证明：
（一）x∈（-∞,-1）,令x1＜x2＜-1
f(x2)-f(x1) = x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
= (x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
= (x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
∵x1＜x2＜-1
∴x2-x1＞0,1-x1x2＜0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}＜0,
∴x∈（-∞,-1）时单调减.
（二）x∈（-1,1）,令-1＜x1＜x2＜1
f(x2)-f(x1) = x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
= (x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
= (x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x2-x1＞0,1-x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}＞0,
∴x∈（-1,1）时单调增.
（三）x∈（1,∞1）,令1＜x1＜x2
f(x2)-f(x1) = x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
= (x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
= (x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
∵1＜x1＜x2
∴x2-x1＞0,1-x1x2＜0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}＜0,
∴x∈（1,+∞）时单调减.

根据函数单调性定义,判断y=ax/x^2+1（a不等于0)在[1,正无穷大）上的单调性并给出证明判断函数y=1/x+1在定义域上的单调性,并加以证明判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明判断函数在f(x)=x+1/x在(0,+∞)上的单调性并证明. 判断并证明f(x)=x/x²+1在(0,﹢∞)上的单调性判断函数f（x）=x+1/x在（0,1）上的单调性,并证明结论. 若a0 判断并证明Y=X+a/X在（0,根号a)上的单调性 (1)已知函数f(x)=log2(4^x+1)-x.判断F(x)在【0,+∞）上的单调性并证明 ( 判断函数y=x+1/x在（1,+∞ ）上的单调性,并用定义证明判断并证明函数f(x)=x方-2x+3在区间(-∞,1)上的单调性判断函数y=根号x在区间[0,正无限大]上的单调性,并证明结论. 判断并证明f(x)=x2/x2+1在(0,+∞)的单调性