神马作文网谁有椭圆的习题啊?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 13:20:04
谁有椭圆的习题啊?
参考：http://219.226.9.43/Resource/GZ/GZSX/DGJC/JXJH/D2/tbjx0060zw_12_0003.htm
椭圆·习题
12-1-1 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 [ ]
A．(0,∞) B．(0,2)
C．(1,-∞) D．(0,1)
点,则实数m的职值范围是 [ ]
A．(0,1) B．(0,5)
C．(1,+∞) D．(1,5)
12-1-3 已知椭圆两准线间的距离与两焦点间的距离之比是4∶3,则此椭圆的离心率为 [ ]
点P到它的左焦点的距离是 [ ]
A．8 B．10
C．12 D．14
12-1-5 一椭圆的两条准线与其一条对称轴分别交于P1,P2两点,两焦点F1,F2将线段P1P2三等分,则此椭圆的离心率为 [ ]
12-1-6 已知椭圆的短轴长、焦距和长轴长成等差数列,则此椭圆的离心率为 [ ]
12-1-7 过椭圆x2+2y2-8x+4y+2=0的一个焦点且与长轴垂直的弦长等于 [ ]
x2,x3成等差数列,F为椭圆的左焦点,则|AF|,|BF|,|CF|
[ ]
A．成等差数列 B．成等比数列
C．的倒数成等差数列 D．的倒数成等比数列
的最大值为 [ ]
0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积的最大值为 [ ]
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
12-1-11 平面上动点M(x,y)到两定点F1(-4,0)和F2(4,0)的距离之和为2a(a＞0),则动点M的轨迹是______．
12-1-12 已知两直线l1∶y=k1x+b与l2∶y=k2x-b(b为非零常数)的交点的轨迹是椭圆,则k1,k2满足的条件是_______．
12-1-13 已知中心在坐标原点,对称轴是坐标轴的椭圆的短轴的一
为________．
3)的椭圆方程为________．
x=3的椭圆方程是_______．
12-1-17 以椭圆的两焦点F1,F2所连线段为直径的圆与椭圆交于A,B,C,D四点,且六边形ABF1CDF2是正六边形,则此椭圆的离心率e=________．
在椭圆上,则△ABC的重心G的轨迹方程为_______．
F2．若PF1⊥PF2,求此椭圆方程．
12-1-22 在直线l：x-y+9=0上任取一点M,过M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆．当M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此时椭圆方程．
12-1-23 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,其中一个焦点与短
1)．求此椭圆的方程、离心率及准线方程．
12-1-24 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点连
方程．
12-1-25 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上．椭圆上一点P到两焦点F1,F2的距离之差为2．∠F1PF2的平分线与椭圆长轴交于
求此椭圆长轴长的取值范围．
为点M到两焦点F1,F2的距离的等比中项．
∠F1PF2=30°．求△F1PF2的面积．
12-1-29 已知椭圆上一点P,椭圆的两焦点为F1,F2,且∠PF1F2=
影恰为椭圆的一个焦点F,求∠APA′的值．
内有两个不同的交点．求a,b所满足的条件,并画出点P(a,b)的存在区域．
12-1-32 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上．斜率为1的直线l与椭圆相交于不同两点A,B,且AB的中点Q恒在定直线y=-px(p＞0且p≠1)上．求此椭圆的离心率．
12-1-33 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上．过其右焦点F作倾
12-1-34 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点的x轴上,一条准线为x=1．设倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为M,直线AB与OM夹角为α．
(1)当α=arctg2时,求此椭圆的方程；
(2)当arctg2＜α＜arctg3时,求椭圆短轴的长的范围．
(1)求此椭圆的方程；
(2)是否存在直线l,它与椭圆交于不同两点M,N,且线段MN恰
说明理由．
y=x+k上有两点C,D,且四边形ABCD为正方形,这个正方形外接圆的方程为x2+y2-2y-8=0．求椭圆方程及直线l的方程．
12-1-37 已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上．直线y=x+1与椭
12-1-40 已知以直线x=1为左准线,以F(2,0)为左焦点的椭圆E的短轴的一个端点为B,求BF中点P的轨迹方程．
12-1-41 椭圆的中心在坐标原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴长的比为t．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q．点
迹是什么图形．
12-1-42 已知直线l：y=kx+a与y轴交于点A,与椭圆(x-2)2+by2=1(b
时,动点P的轨迹．
上一点,射线OP交椭圆于点R．又点Q在OP上,并且满足|OP|·|OQ|=k·|OR|2(k为正常数)．当点P在直线l上运动时,求点Q的轨迹方程．
上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．
最大值和最小值时点P的坐标．
上存在一点M,使∠F1MF2=30°．求此椭圆的离心率e可能取得的最小值．
一点P(x0,y0)到一条准线的距离为1．求椭圆的长轴长取最大值时,椭圆的方程．
12-1-49 已知椭圆E与椭圆x2+4y2=12有公共的焦点,且椭圆E与直线x-y+9=0有公共点．求椭圆E的长轴最短时椭圆的方程．
12-1-50 已知椭圆的左顶点在抛物线y2=x-1上,椭圆的长轴长为4,且y轴为其左准线,求椭圆的离心率e最大时,椭圆的方程．
点的坐标．
上y≥3的一段弧上运动,若△ABC的内心为I(0,1),求|AB|的最大值及此时C点的坐标．
12-1-53 已知椭圆x2+4y2-2kx-16y+21=0(k＞0)的两准线间的距离为
的面积最大时,直线l的方程．
条切线,点A,B为两切点．过A,B两点的直线l与x轴,y轴分别交于点M,N．
(2)求△OMN(O为原点)的面积的最小值及此时点P的坐标．
的弦AB长为m(直线AB不与x轴重合)．
(1)求△AOB的面积；
(2)m为何值时,△AOB的面积最大?并求其最大值．
12-1-56 已知椭圆2x2+y2=4．过点P(1,0)作直线l与椭圆交于A,B两点．求|AB|的最大值及此时直线l的方程．
AB‖OP．求△PAB的面积的最大值,并求此时AB边所在直线的方程．
标原点,且OA⊥OB．求证：O到AB的距离为常数．
椭圆于P,Q两点．求证：以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点．
12-1-60 已知中心在原点、焦在x轴上的椭圆上一点P与椭圆短轴两端的连线分别交椭圆长轴(或延长线)于点Q,R,求证：|OQ|·|OR|为常数．
为定值．
习题参考答案
12-1-2 C 直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上
距离为r2=20-8=12.
12-1-6 B 由题设知2c=a+b,所以b=2c-a,所以b2=(2c-a)2.但b2=a2-c2,于是
12-1-7 B 将方程x2+2y2-8x+4y+2=0配方得
12-1-8 A 由椭圆焦半径公式知
|AF|=a+ex1,|BF|=a+ex2,|CF|=a+ex3
因2x2=x1+x3,所以
|AF|+|CF|=2a+e(x1+x3)=2(a+ex2)=2|BF|
故|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.
5x2+8tx+4t2-4=0
当△=64t2-80t2+80=16(5-t2)＞0时,
12-1-10 D 由题设知AB不与x轴重合.
设AB所在直线的方程为ky=x,A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
于是△AFB的面积
当k=0时,S△AFB取最大值bc.
12-1-11 若a＜4,动点M的轨迹不存在；若a=4,动点M的轨
\1
12-1-12 设P(x0,y0)为轨迹上任一点,则
两式相乘得
故当k1·k2等于一个不为-1的负实数时,两直线的交点轨迹是椭圆．
因M,N两点在椭圆上,所以
12-1-16 设P(x,y)为椭圆上任一点,则
12-1-17 边AF1,因ABF1CDF2为正六边形,则F1A⊥F2A,且∠AF2F1=60°．
12-1-18 设椭圆半焦距为c．P(x,y)为椭圆上一点,且PF1⊥
零个；
满足条件的点有2个；
个．
12-1-19 易知B,C两点坐标为(-2,0),(2,0)．
设A点坐标不(x0,y0),△ABC内坐标为G(x,y),则
G的轨迹方程为
12-1-20 设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)．因A,B两点都在椭圆上,故
(i)减去(ii),得
所以AB所在直线的斜率
8x+9y-25=0
为PF1⊥PF2,故
又点P(3,4)在椭圆上,则
12-1-22 F1(-3,0)关于直线l：x-y+9=0的对称点为F(-9,6),连F2F交l于M．此点即为所求．
由已知,FB′⊥FB,又|FB′|=|FB|,故△FB′B为等腰三角形,
而b=c=4．
一个端点为B(0,b),长轴的一个端点为A(a,0)．
由△BF1F2为正三角形知,|BF1|=|BF2|=|F1F2|,所以
a=2c (i)
设P(x,y)为椭圆上任一点,则x∈[-a,a],所以
即|PF2|≥a-c,故焦点到椭圆上点的最短距离为a-c．于是
同理,若椭圆焦点在y轴上,则方程为
r1+r2=2a
r1-r2=2
又因为一条准线为x=8,故
由(i),(ii)得c=2,a=4,故b2=a2-c2=12．
12-1-26 如下图．设椭圆中心为M,长轴A1A2所在的直线与准线y=1交于H．
由椭圆性质知,椭圆上的点到其准线y=1的距离的最小值为|A1H|,最大值为|A2H|．因P在椭圆上,且P到准线y=1的距离为2．故|A1H|≤2≤|A2H|,即
12-1-27 如下图．由已知,椭圆长半轴、短半轴、半焦距的长分别
由椭圆定义,
设M点坐标为(x,y)则
12-1-28 由题设知a=10,b=8,故c=6,|F1F2|=12．设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20．
在△F1PF2中,由余弦定理得
又∠F1PF2=30°,故
所以,△F1PF2的面积
12-1-29 设长半轴长为a,半焦距为c．
在△PF1F2中,由正弦定理得
12-1-30 由对称性,设F为右焦点．则F点坐标为(c,0),这里c=
别为(-a,0),(a,0)．则PA′、PA所在直线的斜率分别为
(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 (i)
则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程(i)在区间(0,1)内有两相异实根．
令f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),则
同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为上图中阴影部分(不含边界)．
y=x+m．直线l与椭圆的交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)．AB的中点的坐标为(x0,y0)．
(a2+b2)x2+2a2mx+a2(m2-b2)=0
因中点(x0,y0)恒在直线y=-px上,故
故当0＜p＜1时,a＞b,焦点在x轴上,离心率为
当p＞1时,b＞a,焦点在y轴上,离心率
(c,0),P,Q两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)．
由题设,P,Q所在直线方程为y=x-c．
(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0
由△=4a4c2-4a2(c2-b2)(a2+b2)=8a2b4＞0,故上面的方程有两不等实根x1,x2且
又已知OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0．而y1=x1-c,y2=x2-c,故
将(i)代入(ii),得
又b2=a2-c2,则
12-1-34 设半焦距为c．
所以a2=c,所以b2=a2-c2=c-c2＞0,由此知0＜c＜1．
(1-c)x2+y2+c2-c=0
设直线l的方程为y=x+m．
(2-c)x2+2mx+m2+c2=0
A,B两点的横坐标x1,x2为此方程两实根,则
设AB的中点M的坐标为(x0,y0)则
由此知OM所在直线的斜率为k′=c-1,又直线l的斜率为1,故
(1)当α=arctg2时,tgα=2,则
(2)当arctg2＜α＜arctg3时,2＜tgα＜3,则
(2)假设直线l存在,设l的方程为：y=kx+m．
(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0 (i)
设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程(i)的不等两实根．方程(i)的判别式应为正,即
由韦达定理知
又因k≠0,则
将(iii)代入(ii),得
12-1-36 化圆方程x2+y2-2y-8=0为标准方程：x2+(y-1)2=9,知圆心
所以C、D两点坐标为(0,4),(-3,1)．它们关于点P的对称点A、B的坐标分别为(0,-2),(3,1)．
再由A,B在椭圆上,易求得a2=12,b2=4．
故所求椭圆及直线l的方程为
12-1-37 设椭圆方程为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0),P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)．
(A+B)x2+2Bx+B-1=0
当△=4B2-4(A+B)(B-1)=4(A+B-AB)＞0时,方程有两不等实根x1,x2,且据韦达定理有
又因为OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0．而y1=x1+1,y2=x2+1,故
将(ii)代入(i),得
故所求椭圆方程为
其判别式△=12k2+4(k2+4)=16(k2+1)＞0恒成立,故上面的方程有两不等实根y1,y2．由韦达定理知
(ii)
由(i),(ii)得
12-1-39 设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y)．因A,B在椭圆上,所以
两式相减,得
故轨迹为直线b2(x-x0)+m·a2(y-y0)=0在椭圆内的一段(即过椭圆中心的弦,也叫椭圆的直径)．
12-1-40 设P点坐标为(x,y),由题设左焦点为F(2,0),P为BF的中点可知,B点的坐标为(2x-2,2y)．
由B向直线x=1作垂线,垂足为D．
设椭圆中心为O′,则
此即为所求轨迹方程．
故椭圆方程为(t2-1)y2+t2(t2-1)x2=t2．
设P点的坐标为(x,y)．
而t＞1,所以P点的轨迹方程为
12-1-42 由题设知A点的坐标为(0,a)．设点B,C,P的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1,y)．
(x-2)2+b(kx+a)2=1
当△＞0时,方程有两实根x1,x2,且
将(ii)代入(i)得
又因为P点在直线y=kx+a上,在方程y=kx+a两边同乘以ba,得
bay=bakx+ba2 (iv)
将(iii)代入(iv)得bay=2x-3．此即为P点轨迹方程．
故P点轨迹为直线2x-bay-3=0在椭圆内的一段．
12-1-43 设点P,R的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),动点Q的坐标为(x,y)．
将(ii)代入(i)得
又因为P,R分别在直线l及椭圆上,故
将(i),(iii)分别代入得
消去λ2,得
故Q点的轨迹方程为
12-1-44 设椭圆上不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于直线y=4x+m对称,则直线y=4x+m是线段PQ的垂直平分线．
交点P,Q,且PQ的中点落在直线y=4x+m上．
13x2-8nx+16n2-48=0
当△=64n2-52(16n2-48)＞0,即 (i)
12-1-45 设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2)．
若x1=x2,则AB的垂直平分线为x轴,不合题意,所以x1≠x2．
又P(x0,0)是线段AB的垂直平分线上一点,所以|PA|=|PB|,即
将(i)代入(ii),得
设x1＜x2,又由椭圆性质有-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,故
(1+4t2)x2-4x+1=0
因x∈R,则△=16-4(1+4t2)≥0,即
12-1-47 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,c=
在△MF1F2中,由正弦定理有
因r1+r2=2a,则4c(sinα+sinβ)=2a．所以
因P(x0,y0)到一条准线距离为1,即
x0=2a-1 或 x0=-(2a-1)
因P(x0,y0)在椭圆上,故
由题意得,可设椭圆E的方程为
将y=x+9代入(i),得
n2x2+(n2+9)(x+9)2=n2(n2+9)
因直线与椭圆有公共点,所以这个方程有实根,其判别式非负,即
△=[18(n2-9)]2-4(2n2+9)(n2+9)(81-n2)≥0
当n=6时,椭圆E的长轴最短．此时椭圆E的方程为
设椭圆的左顶点为P(x0,y0),则椭圆中心为O′(x0+2,y0)．又y
x0=1,y0=0,故椭圆中心O′坐标为(3,0)．
设椭圆上一点Q(x0,y0)到P点距离为d．因Q在椭圆上,故
12-1-52 设A、B、C三点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),(a,b)．则AC,BC边所在直线方程可表示为
因△ABC的内心为I(0,1),故内切圆半径为1．所以I到直线(i)的距离为1,即
当△=4(b-1)2a2-4(a2-1)(b2-2b)＞0,即
4(a2+b2-2b)＞0
时,方程有两实根k1,k2,由韦达定理知
在(*)中,令y=0得x=a-kb,则x1=a-k1b,x2=a-k2b．从而
|AB|=|x1-x2|=|(k2-k1)b|
12-1-53 将方程x2+4y2-2kx-16y+21=0整理得
则椭圆中心O′坐标为(k,2),焦点在平行于x轴的直线y=2上．易知
又k＞0,所以k=3.故椭圆方程为
中心为O′(3,2).
设直线l的方程为x=m,代入椭圆方程,得
当△=162-16(m2-6m+21)=-16(m2-6m+5)＞0,即1＜m＜5时,方程(i)有二不等实根y1,y2则
又O′到直线l的距离为|m-3|,则△O′AB的面积
由均值不等式,得
12-1-54 (1)设点P的坐标为(x0,y0).两切点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
因PA与圆x2+y2=b2相切,则PA所在直线方程为
同理B的方程为x2x+y2y=b2.
因P(x0,y0)为PA,PB的交点,故
故A,B两点所在直线l的方程为
x0x+y0y=b2
(2)△OMN的面积为
12-1-55 (1)设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2).
因AB所在直线不与x轴重合,则设AB所在直线方程为
x=ky+c(k≠0)
(b2k2+a2)y2+2b2kcy-b4=0
因△=4b4k2c2+4b4(b2k2+a2)=4b4a2(k2+1)＞0,所以方程有两实根y1,y2根据韦达定理有
12-1-56 设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2).
当AB不垂直于x轴时,设AB所在直线方程为
y=k(x-1)
将y=k(x-1)代入椭圆方程2x2+y2=4,得
(2+k2)x2-2k2x+k2-4=0
其判别式△=4k4-4(2+k2)(k2-4)=8(k2+4)＞0恒成立,故它总有二不等实根x1,x2.根据韦达定理有
综上所述,|AB|max=3,此时直线l方程为
的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
等实根x1,x2,故
线的方程为
12-1-58 过O作OH⊥AB于H,|OH|为O到AB的距离.在Rt△OAB中,
当OA不在坐标轴上时,设OA所在直线方程为y=kx.(k≠0),A点坐标为(x,y).
同理可得,
12-1-59 设点A(x0,y0)在以PQ为直径的圆上,则∠PAQ=90°.
设P,Q两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当l不与x轴垂直时,设l方程为
4(1+3k2)x2+12k(3k-1)x+9(3k2-2k-5)=0
其判式△=144k2(3k-1)2-144(1+3k2)(3k2-2k-5)=144(13k2+2k+5)＞0恒成立,故方程有两不等实根x1,x2.由韦达定理知
因为AP⊥AQ,所以
(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0 (iii)
将(iii)左边展开,并将(i),(ii)代入得
对一切实数k都成立.即点A(-3,1)恒在以PQ为直径的圆上,且在椭
显然以PQ为直径的圆过点A(-3,1).
综上可知,过M点的任意直线与椭圆的两交点P,Q,则以PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A(-3,1).
B′(0,-b).
又设P点的坐标为(x0,y0).则直线PB′方程为
直线PB的方程为
12-1-61 设P,P1,P2的坐标分别为(x0,y0),(x1,y1),(x2,
因P1在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上,故b2x12+a2y12=a2b2.将(i)代入,得
Ûb2c2(1+λ1)2+2b2c(1+λ1)x0+b2x02+a2y02=λ12a2b2
Ûb2c2(1+λ1)2+2b2c(1+λ)x0+a2b2(1-λ12)=0
椭圆·习题
12-1-1 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 [ ]
A．(0,∞) B．(0,2)
C．(1,-∞) D．(0,1)
点,则实数m的职值范围是 [ ]
A．(0,1) B．(0,5)
C．(1,+∞) D．(1,5)
12-1-3 已知椭圆两准线间的距离与两焦点间的距离之比是4∶3,则此椭圆的离心率为 [ ]
点P到它的左焦点的距离是 [ ]
A．8 B．10
C．12 D．14
12-1-5 一椭圆的两条准线与其一条对称轴分别交于P1,P2两点,两焦点F1,F2将线段P1P2三等分,则此椭圆的离心率为 [ ]
12-1-6 已知椭圆的短轴长、焦距和长轴长成等差数列,则此椭圆的离心率为 [ ]
12-1-7 过椭圆x2+2y2-8x+4y+2=0的一个焦点且与长轴垂直的弦长等于 [ ]
x2,x3成等差数列,F为椭圆的左焦点,则|AF|,|BF|,|CF|
[ ]
A．成等差数列 B．成等比数列
C．的倒数成等差数列 D．的倒数成等比数列
的最大值为 [ ]
0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积的最大值为 [ ]
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
12-1-11 平面上动点M(x,y)到两定点F1(-4,0)和F2(4,0)的距离之和为2a(a＞0),则动点M的轨迹是______．
12-1-12 已知两直线l1∶y=k1x+b与l2∶y=k2x-b(b为非零常数)的交点的轨迹是椭圆,则k1,k2满足的条件是_______．
12-1-13 已知中心在坐标原点,对称轴是坐标轴的椭圆的短轴的一
为________．
3)的椭圆方程为________．
x=3的椭圆方程是_______．
12-1-17 以椭圆的两焦点F1,F2所连线段为直径的圆与椭圆交于A,B,C,D四点,且六边形ABF1CDF2是正六边形,则此椭圆的离心率e=________．
在椭圆上,则△ABC的重心G的轨迹方程为_______．
F2．若PF1⊥PF2,求此椭圆方程．
12-1-22 在直线l：x-y+9=0上任取一点M,过M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆．当M在什么位置时,所作椭圆长轴最短?并求此时椭圆方程．
12-1-23 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,其中一个焦点与短
1)．求此椭圆的方程、离心率及准线方程．
12-1-24 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点连
方程．
12-1-25 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上．椭圆上一点P到两焦点F1,F2的距离之差为2．∠F1PF2的平分线与椭圆长轴交于
求此椭圆长轴长的取值范围．
为点M到两焦点F1,F2的距离的等比中项．
∠F1PF2=30°．求△F1PF2的面积．
12-1-29 已知椭圆上一点P,椭圆的两焦点为F1,F2,且∠PF1F2=
影恰为椭圆的一个焦点F,求∠APA′的值．
内有两个不同的交点．求a,b所满足的条件,并画出点P(a,b)的存在区域．
12-1-32 已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上．斜率为1的直线l与椭圆相交于不同两点A,B,且AB的中点Q恒在定直线y=-px(p＞0且p≠1)上．求此椭圆的离心率．
12-1-33 已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上．过其右焦点F作倾
12-1-34 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点的x轴上,一条准线为x=1．设倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为M,直线AB与OM夹角为α．
(1)当α=arctg2时,求此椭圆的方程；
(2)当arctg2＜α＜arctg3时,求椭圆短轴的长的范围．
(1)求此椭圆的方程；
(2)是否存在直线l,它与椭圆交于不同两点M,N,且线段MN恰
说明理由．
y=x+k上有两点C,D,且四边形ABCD为正方形,这个正方形外接圆的方程为x2+y2-2y-8=0．求椭圆方程及直线l的方程．
12-1-37 已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上．直线y=x+1与椭
12-1-40 已知以直线x=1为左准线,以F(2,0)为左焦点的椭圆E的短轴的一个端点为B,求BF中点P的轨迹方程．
12-1-41 椭圆的中心在坐标原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴长的比为t．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q．点
迹是什么图形．
12-1-42 已知直线l：y=kx+a与y轴交于点A,与椭圆(x-2)2+by2=1(b
时,动点P的轨迹．
上一点,射线OP交椭圆于点R．又点Q在OP上,并且满足|OP|·|OQ|=k·|OR|2(k为正常数)．当点P在直线l上运动时,求点Q的轨迹方程．
上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．
最大值和最小值时点P的坐标．
上存在一点M,使∠F1MF2=30°．求此椭圆的离心率e可能取得的最小值．
一点P(x0,y0)到一条准线的距离为1．求椭圆的长轴长取最大值时,椭圆的方程．
12-1-49 已知椭圆E与椭圆x2+4y2=12有公共的焦点,且椭圆E与直线x-y+9=0有公共点．求椭圆E的长轴最短时椭圆的方程．
12-1-50 已知椭圆的左顶点在抛物线y2=x-1上,椭圆的长轴长为4,且y轴为其左准线,求椭圆的离心率e最大时,椭圆的方程．
点的坐标．
上y≥3的一段弧上运动,若△ABC的内心为I(0,1),求|AB|的最大值及此时C点的坐标．
12-1-53 已知椭圆x2+4y2-2kx-16y+21=0(k＞0)的两准线间的距离为
的面积最大时,直线l的方程．
条切线,点A,B为两切点．过A,B两点的直线l与x轴,y轴分别交于点M,N．
(2)求△OMN(O为原点)的面积的最小值及此时点P的坐标．
的弦AB长为m(直线AB不与x轴重合)．
(1)求△AOB的面积；
(2)m为何值时,△AOB的面积最大?并求其最大值．
12-1-56 已知椭圆2x2+y2=4．过点P(1,0)作直线l与椭圆交于A,B两点．求|AB|的最大值及此时直线l的方程．
AB‖OP．求△PAB的面积的最大值,并求此时AB边所在直线的方程．
标原点,且OA⊥OB．求证：O到AB的距离为常数．
椭圆于P,Q两点．求证：以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点．
12-1-60 已知中心在原点、焦在x轴上的椭圆上一点P与椭圆短轴两端的连线分别交椭圆长轴(或延长线)于点Q,R,求证：|OQ|·|OR|为常数．
为定值．
习题参考答案
12-1-2 C 直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上
距离为r2=20-8=12.
12-1-6 B 由题设知2c=a+b,所以b=2c-a,所以b2=(2c-a)2.但b2=a2-c2,于是
12-1-7 B 将方程x2+2y2-8x+4y+2=0配方得
12-1-8 A 由椭圆焦半径公式知
|AF|=a+ex1,|BF|=a+ex2,|CF|=a+ex3
因2x2=x1+x3,所以
|AF|+|CF|=2a+e(x1+x3)=2(a+ex2)=2|BF|
故|AF|、|BF|、|CF|成等差数列.
5x2+8tx+4t2-4=0
当△=64t2-80t2+80=16(5-t2)＞0时,
12-1-10 D 由题设知AB不与x轴重合.
设AB所在直线的方程为ky=x,A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
于是△AFB的面积
当k=0时,S△AFB取最大值bc.
12-1-11 若a＜4,动点M的轨迹不存在；若a=4,动点M的轨
\1
12-1-12 设P(x0,y0)为轨迹上任一点,则
两式相乘得
故当k1·k2等于一个不为-1的负实数时,两直线的交点轨迹是椭圆．
因M,N两点在椭圆上,所以
12-1-16 设P(x,y)为椭圆上任一点,则
12-1-17 边AF1,因ABF1CDF2为正六边形,则F1A⊥F2A,且∠AF2F1=60°．
12-1-18 设椭圆半焦距为c．P(x,y)为椭圆上一点,且PF1⊥
零个；
满足条件的点有2个；
个．
12-1-19 易知B,C两点坐标为(-2,0),(2,0)．
设A点坐标不(x0,y0),△ABC内坐标为G(x,y),则
G的轨迹方程为
12-1-20 设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)．因A,B两点都在椭圆上,故
(i)减去(ii),得
所以AB所在直线的斜率
8x+9y-25=0
为PF1⊥PF2,故
又点P(3,4)在椭圆上,则
12-1-22 F1(-3,0)关于直线l：x-y+9=0的对称点为F(-9,6),连F2F交l于M．此点即为所求．
由已知,FB′⊥FB,又|FB′|=|FB|,故△FB′B为等腰三角形,
而b=c=4．
一个端点为B(0,b),长轴的一个端点为A(a,0)．
由△BF1F2为正三角形知,|BF1|=|BF2|=|F1F2|,所以
a=2c (i)
设P(x,y)为椭圆上任一点,则x∈[-a,a],所以
即|PF2|≥a-c,故焦点到椭圆上点的最短距离为a-c．于是
同理,若椭圆焦点在y轴上,则方程为
r1+r2=2a
r1-r2=2
又因为一条准线为x=8,故
由(i),(ii)得c=2,a=4,故b2=a2-c2=12．
12-1-26 如下图．设椭圆中心为M,长轴A1A2所在的直线与准线y=1交于H．
由椭圆性质知,椭圆上的点到其准线y=1的距离的最小值为|A1H|,最大值为|A2H|．因P在椭圆上,且P到准线y=1的距离为2．故|A1H|≤2≤|A2H|,即
12-1-27 如下图．由已知,椭圆长半轴、短半轴、半焦距的长分别
由椭圆定义,
设M点坐标为(x,y)则
12-1-28 由题设知a=10,b=8,故c=6,|F1F2|=12．设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20．
在△F1PF2中,由余弦定理得
又∠F1PF2=30°,故
所以,△F1PF2的面积
12-1-29 设长半轴长为a,半焦距为c．
在△PF1F2中,由正弦定理得
12-1-30 由对称性,设F为右焦点．则F点坐标为(c,0),这里c=
别为(-a,0),(a,0)．则PA′、PA所在直线的斜率分别为
(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 (i)
则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程(i)在区间(0,1)内有两相异实根．
令f(x)=(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2),则
同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为上图中阴影部分(不含边界)．
y=x+m．直线l与椭圆的交点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)．AB的中点的坐标为(x0,y0)．
(a2+b2)x2+2a2mx+a2(m2-b2)=0
因中点(x0,y0)恒在直线y=-px上,故
故当0＜p＜1时,a＞b,焦点在x轴上,离心率为
当p＞1时,b＞a,焦点在y轴上,离心率
(c,0),P,Q两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)．
由题设,P,Q所在直线方程为y=x-c．
(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0
由△=4a4c2-4a2(c2-b2)(a2+b2)=8a2b4＞0,故上面的方程有两不等实根x1,x2且
又已知OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0．而y1=x1-c,y2=x2-c,故
将(i)代入(ii),得
又b2=a2-c2,则
12-1-34 设半焦距为c．
所以a2=c,所以b2=a2-c2=c-c2＞0,由此知0＜c＜1．
(1-c)x2+y2+c2-c=0
设直线l的方程为y=x+m．
(2-c)x2+2mx+m2+c2=0
A,B两点的横坐标x1,x2为此方程两实根,则
设AB的中点M的坐标为(x0,y0)则
由此知OM所在直线的斜率为k′=c-1,又直线l的斜率为1,故
(1)当α=arctg2时,tgα=2,则
(2)当arctg2＜α＜arctg3时,2＜tgα＜3,则
(2)假设直线l存在,设l的方程为：y=kx+m．
(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0 (i)
设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2为方程(i)的不等两实根．方程(i)的判别式应为正,即
由韦达定理知
又因k≠0,则
将(iii)代入(ii),得
12-1-36 化圆方程x2+y2-2y-8=0为标准方程：x2+(y-1)2=9,知圆心
所以C、D两点坐标为(0,4),(-3,1)．它们关于点P的对称点A、B的坐标分别为(0,-2),(3,1)．
再由A,B在椭圆上,易求得a2=12,b2=4．
故所求椭圆及直线l的方程为
12-1-37 设椭圆方程为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0),P,Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)．
(A+B)x2+2Bx+B-1=0
当△=4B2-4(A+B)(B-1)=4(A+B-AB)＞0时,方程有两不等实根x1,x2,且据韦达定理有
又因为OP⊥OQ,则x1x2+y1y2=0．而y1=x1+1,y2=x2+1,故
将(ii)代入(i),得
故所求椭圆方程为
其判别式△=12k2+4(k2+4)=16(k2+1)＞0恒成立,故上面的方程有两不等实根y1,y2．由韦达定理知
(ii)
由(i),(ii)得
12-1-39 设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为P(x,y)．因A,B在椭圆上,所以
两式相减,得
故轨迹为直线b2(x-x0)+m·a2(y-y0)=0在椭圆内的一段(即过椭圆中心的弦,也叫椭圆的直径)．
12-1-40 设P点坐标为(x,y),由题设左焦点为F(2,0),P为BF的中点可知,B点的坐标为(2x-2,2y)．
由B向直线x=1作垂线,垂足为D．
设椭圆中心为O′,则
此即为所求轨迹方程．
故椭圆方程为(t2-1)y2+t2(t2-1)x2=t2．
设P点的坐标为(x,y)．
而t＞1,所以P点的轨迹方程为
12-1-42 由题设知A点的坐标为(0,a)．设点B,C,P的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1,y)．
(x-2)2+b(kx+a)2=1
当△＞0时,方程有两实根x1,x2,且
将(ii)代入(i)得
又因为P点在直线y=kx+a上,在方程y=kx+a两边同乘以ba,得
bay=bakx+ba2 (iv)
将(iii)代入(iv)得bay=2x-3．此即为P点轨迹方程．
故P点轨迹为直线2x-bay-3=0在椭圆内的一段．
12-1-43 设点P,R的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),动点Q的坐标为(x,y)．
将(ii)代入(i)得
又因为P,R分别在直线l及椭圆上,故
将(i),(iii)分别代入得
消去λ2,得
故Q点的轨迹方程为
12-1-44 设椭圆上不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于直线y=4x+m对称,则直线y=4x+m是线段PQ的垂直平分线．
交点P,Q,且PQ的中点落在直线y=4x+m上．
13x2-8nx+16n2-48=0
当△=64n2-52(16n2-48)＞0,即 (i)
12-1-45 设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2)．
若x1=x2,则AB的垂直平分线为x轴,不合题意,所以x1≠x2．
又P(x0,0)是线段AB的垂直平分线上一点,所以|PA|=|PB|,即
将(i)代入(ii),得
设x1＜x2,又由椭圆性质有-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,故
(1+4t2)x2-4x+1=0
因x∈R,则△=16-4(1+4t2)≥0,即
12-1-47 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,c=
在△MF1F2中,由正弦定理有
因r1+r2=2a,则4c(sinα+sinβ)=2a．所以
因P(x0,y0)到一条准线距离为1,即
x0=2a-1 或 x0=-(2a-1)
因P(x0,y0)在椭圆上,故
由题意得,可设椭圆E的方程为
将y=x+9代入(i),得
n2x2+(n2+9)(x+9)2=n2(n2+9)
因直线与椭圆有公共点,所以这个方程有实根,其判别式非负,即
△=[18(n2-9)]2-4(2n2+9)(n2+9)(81-n2)≥0
当n=6时,椭圆E的长轴最短．此时椭圆E的方程为
设椭圆的左顶点为P(x0,y0),则椭圆中心为O′(x0+2,y0)．又y
x0=1,y0=0,故椭圆中心O′坐标为(3,0)．
设椭圆上一点Q(x0,y0)到P点距离为d．因Q在椭圆上,故
12-1-52 设A、B、C三点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),(a,b)．则AC,BC边所在直线方程可表示为
因△ABC的内心为I(0,1),故内切圆半径为1．所以I到直线(i)的距离为1,即
当△=4(b-1)2a2-4(a2-1)(b2-2b)＞0,即
4(a2+b2-2b)＞0
时,方程有两实根k1,k2,由韦达定理知
在(*)中,令y=0得x=a-kb,则x1=a-k1b,x2=a-k2b．从而
|AB|=|x1-x2|=|(k2-k1)b|
12-1-53 将方程x2+4y2-2kx-16y+21=0整理得
则椭圆中心O′坐标为(k,2),焦点在平行于x轴的直线y=2上．易知
又k＞0,所以k=3.故椭圆方程为
中心为O′(3,2).
设直线l的方程为x=m,代入椭圆方程,得
当△=162-16(m2-6m+21)=-16(m2-6m+5)＞0,即1＜m＜5时,方程(i)有二不等实根y1,y2则
又O′到直线l的距离为|m-3|,则△O′AB的面积
由均值不等式,得
12-1-54 (1)设点P的坐标为(x0,y0).两切点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
因PA与圆x2+y2=b2相切,则PA所在直线方程为
同理B的方程为x2x+y2y=b2.
因P(x0,y0)为PA,PB的交点,故
故A,B两点所在直线l的方程为
x0x+y0y=b2
(2)△OMN的面积为
12-1-55 (1)设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2).
因AB所在直线不与x轴重合,则设AB所在直线方程为
x=ky+c(k≠0)
(b2k2+a2)y2+2b2kcy-b4=0
因△=4b4k2c2+4b4(b2k2+a2)=4b4a2(k2+1)＞0,所以方程有两实根y1,y2根据韦达定理有
12-1-56 设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2).
当AB不垂直于x轴时,设AB所在直线方程为
y=k(x-1)
将y=k(x-1)代入椭圆方程2x2+y2=4,得
(2+k2)x2-2k2x+k2-4=0
其判别式△=4k4-4(2+k2)(k2-4)=8(k2+4)＞0恒成立,故它总有二不等实根x1,x2.根据韦达定理有
综上所述,|AB|max=3,此时直线l方程为
的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
等实根x1,x2,故
线的方程为
12-1-58 过O作OH⊥AB于H,|OH|为O到AB的距离.在Rt△OAB中,
当OA不在坐标轴上时,设OA所在直线方程为y=kx.(k≠0),A点坐标为(x,y).
同理可得,
12-1-59 设点A(x0,y0)在以PQ为直径的圆上,则∠PAQ=90°.
设P,Q两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当l不与x轴垂直时,设l方程为
4(1+3k2)x2+12k(3k-1)x+9(3k2-2k-5)=0
其判式△=144k2(3k-1)2-144(1+3k2)(3k2-2k-5)=144(13k2+2k+5)＞0恒成立,故方程有两不等实根x1,x2.由韦达定理知
因为AP⊥AQ,所以
(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0 (iii)
将(iii)左边展开,并将(i),(ii)代入得
对一切实数k都成立.即点A(-3,1)恒在以PQ为直径的圆上,且在椭
显然以PQ为直径的圆过点A(-3,1).
综上可知,过M点的任意直线与椭圆的两交点P,Q,则以PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A(-3,1).
B′(0,-b).
又设P点的坐标为(x0,y0).则直线PB′方程为
直线PB的方程为
12-1-61 设P,P1,P2的坐标分别为(x0,y0),(x1,y1),(x2,
因P1在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上,故b2x12+a2y12=a2b2.将(i)代入,得
Ûb2c2(1+λ1)2+2b2c(1+λ1)x0+b2x02+a2y02=λ12a2b2
Ûb2c2(1+λ1)2+2b2c(1+λ)x0+a2b2(1-λ12)=0