证明|sina-sinb|

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/30 07:22:13

证明|sina-sinb|

楼主给的要证明的式子是错的,我能举出反例,比如a=30°=π/6,b=-30°=-π/6,那么
|sina-sinb|=|1/2-(-1/2)|=1,但是|a+b|=0,显然1>0不满足不等式.
如果右边改成|a-b|就对了,并且可以证明.
第一步：用和差化积公式
|sina-sinb|=|2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]|
第二步：把cos项放大为1
|2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]|≤|2sin[(a-b)/2]|
第三步：利用重要公式|sinx|≤|x|（这个可以用单位圆上的弧长x比有向线段sinx长证明出来,课本上应该有）
|2sin[(a-b)/2]|≤|2×(a-b)/2|=|a-b|
于是有|sina-sinb|≤|a-b|
总之证明三角函数不等式的思路基本是放缩法,三角函数最大取1,最小-1,如果考虑绝对值最小是0,另外那个|sinx|≤|x|也比较重要.另外要善于代数变形,比如积化和差之类的公式三件函数里面多得很,有的题目会用到.
再问：对打错了，不好意思
再答：没事。改成|a-b|以后我证的对吗？有没有过程说不通或者不能理解的？
再问：题目貌似是要用微中值定理来证明的
再答：这个应该是没学过微分的时候证明连续性要用的吧（比如用ε-Δ定义证明函数的极限或者连续）？我以为楼主是高中生或者是刚学高数的时候，所以用初等方法做了。如果非要用中值定理的话应该也可以吧，就是|sina-sinb|/|a-b|可以看成sinx在某个中值α处的导数，也就是|sina-sinb|/|a-b|=|sin'(α)|=|cosα|，而|cosα|≤1是肯定的，所以|sina-sinb|/|a-b|≤1即|sina-sinb|≤|a-b|。上面是大体思路，至于里面一些细节说的严谨与否，语言组织之类的就自己看吧……

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