压轴题：设f(x)=xe^(-x),g(x)=ax^2-2ax+1.若f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,求参数a

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 03:19:44

压轴题：设f(x)=xe^(-x),g(x)=ax^2-2ax+1.若f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,求参数a的取值范围.
求规范解答.望不吝赐教.更希望指导多种思路、方法.感激不尽!

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f(x) = xe^(-x)
f'(x) = e^(-x) - xe^(-x) = (1-x)e^(-x)
∵x＞1
∴1-x＜0
而e^(-x)＞0
∴f'(x)=(1-x)e^(-x)＜0
即f(x)在(1,+∞)是单调减函数
f(1)=1/e
即在(1,+∞)上恒有f(x)＜1/e
要使f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,只需要g(x)的最小值大于等于1/e就可以了
g(x)=a(x-1)²+1-a
1°当a = 0时,g(x)=1＞1/e成立,故而a=0满足题意；
2°当a＜0时,g(x)是一个开口向下的抛物线,在(1,+∞)上是趋近于负无穷的,因此没有最小值,故不满足题意
3°当a＞0时,g(x)是一个开口向上的抛物线,对称轴为x=1,因此,可以看到g(x)在(1,+∞)也是没有最小值的,因为它的最小值取不到g(1)=1-a,故而只需要1-a≥1/e,可得0＜a≤(e-1)/e
综上可知a的取值范围是[0,(e-1)/e]
对于像这样的函数不等式的问题,一般来讲有这样两种方法：
1、构造新函数求最值法,比如令u(x)=f(x)-g(x),原命题即等价于u(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,然后对u(x)求导求得最值或特殊情况用均值不等式等方法.
2、定支法,一般来说函数不等式压轴题都是带有变参数的,那么我们一般可以将其中的某支函数的值的范围求出来,然后根据题目要求来进行,比如上面的这题,f(x)的范围可以很简单求得,那么要使g(x)大于f(x)恒成立,就只需要g(x)的最小值大于f(x)的最大值即可,g(x)的范围与参数有关,那么我们就要求得各种情况下的g(x)最小值来进行讨论.
总的来说,不管用什么方法,带有参数的题目一般都不可避免的需要讨论,分类讨论的思想是中学数学必须掌握的方法.
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设函数f(x)=xe∧x,g(x)=ax∧2+x.若当x≥0时恒有f(x)≥g(x),求a的取值范围设a>0 f(x)=lnx-ax g(x)=lnx-2(x-1)/(x+1) (1)证明 x>1时 g(x)>0恒成立已知f(x)=xlnx,g(x)=-x^2+ax+x-3,若对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立设f(x)=ax²+x-a.g(x)=2ax+5-3a 函数,看不懂的题设f(x)=x^2-2ax+a在区间[-1,1]上最小值为g(a),求g(a)的最大值? 函数f(x)=ax^2+lnx(2)设函数g(x)=(2a+1)x,若x属于(1,+无限)时,f(x )恒成立求a的取设f（x）=2x^2/x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0).①求f（x）在x属于【0,1】上的值域.②若对任意X1 已知函数f(x)=ax^2+lnx,g(x)=1/2x^2+2ax,a∈r,若在区间[1,+∞）上f(x)图像恒在g(x 设函数f(x)=x^2+2ax+3a-1在区间[-2,4]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式已知函数f(x)=x2+ax+1,求f(x)在[1,2]上的最小值g(a) 函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2,若x∈[0,1]时,函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方,求已知导数f(x)=ax^3+x^2-ax,(a,x∈R),设g(x)=f(x)/x-lnx,(x>1/2),求g(x)单