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三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC=2,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,D、E分别是PC、PB的中点.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 19:40:12
三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC=2,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,D、E分别是PC、PB的中点.

(1)求证:DE∥平面ABC;
(2 )求证:AD⊥平面PBC;
(3)求四棱锥A-BCDE的体积.
三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC=2,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,D、E分别是PC、PB的中点.
证明:(1)∵D、E分别是PC、PB的中点
∴DE∥BC
又∵DE⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴DE∥平面ABC
(2)∵PA=AC,D为PC的中点
∴AD⊥PC
PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC
又∵BC⊥AC,PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
∵AD⊂平面PAC
∴AD⊥BC
又∴BC∩PC=C
∴AD⊥平面PBC;
(3)∵在PA=AC=BC=2,
∴等腰直角三角形PAC中,AD=CD=
2
直角梯形BCDE中,DE=
1
2BC=1,CD=
2
∴直角梯形BCDE的面积S=
3
2
2
∴四棱锥A-BCDE的体积V=
1
3S•AD=1