定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题:
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 12:59:06
定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数,对于下列命题:
①函数f(x)满足f(x+4)=f(x);
②函数f(x)图象关于点(1,0)对称;
③函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
④函数f(x)的最大值为f(2);
⑤f(2009)=0.
其中正确的序号为______.
①函数f(x)满足f(x+4)=f(x);
②函数f(x)图象关于点(1,0)对称;
③函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
④函数f(x)的最大值为f(2);
⑤f(2009)=0.
其中正确的序号为______.
①对
因为f(x+2)+f(x)=0
得f(x+2)=-f(x)
即f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
②对
函数f(x+1)为奇函数,即函数f(x)向左平移一个单位以后关于(0,0)对称,
∴平移之前的图象应该关于(1,0)对称,故②正确;
③对
由f(x+2)=-f(x)
得f(x+1+2)=-f(x+1)
又由f(-x+1)=-f(x+1)
知f(x+1+2)=f(-x+1)
即f(x+3)=f(-x+1)
故函数f(x)有对称轴x=2
即f(x)的图象关于直线x=2对称
④不对
对于f(x+2)+f(x)=0,因为是奇函数,
所以f(0)=0,也就是 f(2)=-f(0)=0,
因为函数的单调性没有给出,所以无法确定函数的最大值,即④错误.
⑤对
由①知
f(2009)
=f(502×4+1)
=f(1)
又由②知F(x)=f(x+1)
令x=0,则F(0)=f(0+1)=0
即f(1)=0
即f(2009)=0
因为f(x+2)+f(x)=0
得f(x+2)=-f(x)
即f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
②对
函数f(x+1)为奇函数,即函数f(x)向左平移一个单位以后关于(0,0)对称,
∴平移之前的图象应该关于(1,0)对称,故②正确;
③对
由f(x+2)=-f(x)
得f(x+1+2)=-f(x+1)
又由f(-x+1)=-f(x+1)
知f(x+1+2)=f(-x+1)
即f(x+3)=f(-x+1)
故函数f(x)有对称轴x=2
即f(x)的图象关于直线x=2对称
④不对
对于f(x+2)+f(x)=0,因为是奇函数,
所以f(0)=0,也就是 f(2)=-f(0)=0,
因为函数的单调性没有给出,所以无法确定函数的最大值,即④错误.
⑤对
由①知
f(2009)
=f(502×4+1)
=f(1)
又由②知F(x)=f(x+1)
令x=0,则F(0)=f(0+1)=0
即f(1)=0
即f(2009)=0
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=12x,则使f(x)=−
已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)是二次函数,满足条件f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+
已知定义为R上的奇函数f(X),满足f(X-4)=-f(X),且在区间[0,2]上是增函数,比较 f(-25),f(11
函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x大于0时,f(x)=根号x+1.求f(x)
函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=根号x+1.求f(x)
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意x属于R,都有f(x+3)=-f(x),若f(-1)=-1,则f(2
已知f(x),g(x)都是定义在r上的函数 且满足以下条件 (1)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数(2)f(1)=0,
定义在R上的单调递减函数y=f(x)满足f(1-x)=-f(1+x),且对于任意x,y∈R,不等f(x2-2x)+f(y
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2)且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+15