不等式的证明方法总结

不等式的证明方法总结

不等式的证明 1.比较法 作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小 作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0.作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1 例1 求证:x2+3>3x 证明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3 =+≥>0 ∴ x2+3>3x 例2 已知a,b R+,并且a≠b,求证 a5+b5>a3b2+a2b3 证明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵ a,b R+ ∴ a+b>0,a2+ab+b2>0 又因为a≠b,所以(a-b)2>0 ∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0 ∴ a5+b5>a3b2+a2b3 例3 已知a,b R+,求证:aabb≥abba 证明:= ∵a,b R+,当a>b时,>1,a-b>0,>1; 当a≤b时,≤1,a-b≤0,≥1.∴≥1,即aabb≥abba 综合法 了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式 定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号) 证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b时取等号.所以 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"="号) 证明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显,当且仅当a=b=c时取等号.例1 已知a,b,c是不全等的正数,求证 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.放缩法 这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性— a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了.例,证明当k是大于1的整数时,我们可以用放缩法的一支——"逐步放大法",证明如下:分析法 从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题 例 求证:证明:构造图形证明不等式 例:已知a,b,c都是正数,求证:+> 分析与证明:观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,联想到余弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,这样:可以看成a,b为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成b,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成a,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边 构造图形如下,AB=,BC=,AC= 显然AB+BC>AC,故原不等式成立.数形结合法 数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题.数量关系如果借助于图形性质,可以使许多抽象概念和关系直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可获得简捷而一般化的解法,即所谓的以数解形.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,数形的转化,可以培养思维的灵活性,形象性.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化.例.证明,当x>5时,≤x-2 令y1=,y2=x-2,从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象.设它们交点的横坐标是x0,则=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根据图形,很显然成立.反证法 先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论,从而断定反证假定错误,因而要证不等式成立.穷举法 对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况).注意:在证明不等式时,应灵活运用上述方法,并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力.