已知二次函数f(x)=ax2-4x+c,若f(x)<0的解集是(-1.,5)求实数a,c的值,求函数f(x)在x∈[0,
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 06:04:35
已知二次函数f(x)=ax2-4x+c,若f(x)<0的解集是(-1.,5)求实数a,c的值,求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域.
(1)由不等式f(x)<0的解集是(-1,5),可知二次不等式对应的方程的根,利用根与系数关系列式求a和c的值;
(2)求出函数f(x)的解析式后,借助于其图象分析函数在[0,3]上的单调性,运用单调性求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域.
由f(x)<0,得:ax²-4x+c<0,
不等式ax²-4x+c<0的解集是(-1,5),
故方程ax²-4x+c=0的两根是x1=-1,x2=5.
所以根据韦达定理:
4/a=x1+x2=4,
c/a=x1x2=−5
所以a=1,c=-5.
故f(x)=x²-4x-5=(x-2)²-9.
∵x∈[0,3],f(x)在[0,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.
∴当x=2时,f(x)取得最小值为f(2)=-9.
而当x=0时,f(0)=(0-2)²-9=-5,当x=3时,f(3)=(3-2)²-9=-8
∴f(x)在[0,3]上取得最大值为f(0)=-5.
∴函数f(x)在x∈[0,3]上的值域为[-9,-5].
(本题考查了一元二次不等式的解集与二次不等式对应的方程的根的关系,考查了利用函数的单调性求函数的值域,是基础题.)
(2)求出函数f(x)的解析式后,借助于其图象分析函数在[0,3]上的单调性,运用单调性求函数f(x)在x∈[0,3]上的值域.
由f(x)<0,得:ax²-4x+c<0,
不等式ax²-4x+c<0的解集是(-1,5),
故方程ax²-4x+c=0的两根是x1=-1,x2=5.
所以根据韦达定理:
4/a=x1+x2=4,
c/a=x1x2=−5
所以a=1,c=-5.
故f(x)=x²-4x-5=(x-2)²-9.
∵x∈[0,3],f(x)在[0,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.
∴当x=2时,f(x)取得最小值为f(2)=-9.
而当x=0时,f(0)=(0-2)²-9=-5,当x=3时,f(3)=(3-2)²-9=-8
∴f(x)在[0,3]上取得最大值为f(0)=-5.
∴函数f(x)在x∈[0,3]上的值域为[-9,-5].
(本题考查了一元二次不等式的解集与二次不等式对应的方程的根的关系,考查了利用函数的单调性求函数的值域,是基础题.)
已知函数f(x)=x^2+a/c(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
若二次函数F(X)=AX2+BX+C(A不等于0)满足F(X+1)-F(X)=2X,且F(0)=1,求F(X)的解析式
(已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.)
已知二次函数f(x)=ax2+x.对于∀x∈(0,1],|f(x)|≤1成立,求实数a的取值范围.
已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又f(x)在[0,2]上是增函数,且f(a)≥f(0),求实数a的取
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(-1)=0,当x∈R时,x≤f(x)≤(x+1)/4恒成立.求f(x)
已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4,1]上的最大值为5,求实数a的值.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,的图像与x轴有两个不同的交点,若f(x)=0,证明:1/a是函数f(x)
已知函数f(x)=9x-3x+1+c(其中C是常数). (1)若当x∈[0,1]时,恒有f(x)<0成立,求实数C的取值
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=2x没有实数根,那么f(f(x))=4x的实根根数个数为(
已知函数F(X)=AX2+BX+C,若F(0)=0,F(X+1)=F(X)+X+1.求F(X)的表达式.
已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(a≠0)的图象与y轴交于点(0,1),且满足f(-2+x)=f(-2-x)(x∈