椭圆定值在椭圆X2/a2 +Y2/b2=1（a>b>0）上取一点P,P与长轴两端点A,B的连线分别交短轴所在直线于M,N

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 15:08:52

椭圆定值
在椭圆X2/a2 +Y2/b2=1（a>b>0）上取一点P,P与长轴两端点A,B的连线分别交短轴所在直线于M,N两点,设O为原点,求证：/OM/乘/ON/为定值!
在椭圆X2/a2 +Y2/b2=1（a>b>0）上取一点P，椭圆短轴上的两个端点分别是B1 B2 若直线PB1,PB2分别与X轴交于M,N,设O为原点，求证：/OM/乘/ON/为定值！

x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)
设P点坐标为(m,n)
长轴两端点坐标为A(a,0）B(-a,0）则
m^2/a^2+n^2/b^2=1 即(a^2n^2)/(a^2-m^2)=b^2
PA的直线方程为
y-0=[(n-0)/(m-a)](x-a)
令x=0,则y=-an/(m-a),即
M点坐标为(-an/(m-a),0）
PB的直线方程为
y-0=[(n-0)/(m+a)](x+a)
令x=0,则x=an/(m+a),即
N点坐标为(an/(m+a),0）
|OM|*|ON|=|-an/(m-a)|*|an/(m+a)|=|(a^2n^2)/(a^2-m^2)|=b^2
所以|OM|*|ON|为定值b^2
x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)
设P点坐标为(m,n)
短轴两端点坐标为B1(0,b）B2(0,-b）则
m^2/a^2+n^2/b^2=1 即(b^2m^2)/(a^2-n^2)=a^2
PB1的直线方程为
y-b=[(n-b)/(m-0)](x-0)
令y=0,则x=-bm/(n-b),即
M点坐标为(-bm/(n-b),0）
PB2的直线方程为
y+b=[(n+b)/(m-0)](x-0)
令y=0,则x=bm/(n+b),即
N点坐标为(bm/(n+b),0）
|OM|*|ON|=|-bm/(n-b)|*|bm/(n+b)|=|(b^2m^2)/(a^2-n^2)|=a^2
所以|OM|*|ON|为定值a^2

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