(2014•杭州一模)设a∈R,f(x)=−13x3+ax+(1−a)lnx.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/24 15:17:33
(2014•杭州一模)设a∈R,f(x)=−
x
1 |
3 |
(Ⅰ)由于a=0,则f(x)=-
1
3x3+lnx,f′(x)=-x2+
1
x=
1−x3
x,
易知x=1是函数f(x)=-
1
3x3+lnx极大值点,
故f(x)的极大值为f(1)=-
1
3•13+ln1=-
1
3;
(Ⅱ)由于f′(x)=-x2+a+
1−a
x=
(1−x)(x2+x+1−a)
x(x>0),
①当a≤1时,f(x)在(0,1)上为增函数,在区间(1,+∞)上为减函数,
故函数f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值f(1)=−
1
3+a
由题设知函数y=f(x)的最大值要大于或等于零,即a-
1
3≥0,可得
1
3≤a≤1,
故当
1
3≤a≤1时,函数f(x)存在零点;
②当a>1时,f(1)=a-
1
3>0,f(
3a)=(1-a)ln(
3a)<0,
由函数的零点存在性定理知,函数f(x)在(1,
3a)内必存在零点;
综上可知,若函数y=f(x)有零点,a的取值范围为[
1
3,+∞).
1
3x3+lnx,f′(x)=-x2+
1
x=
1−x3
x,
易知x=1是函数f(x)=-
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3x3+lnx极大值点,
故f(x)的极大值为f(1)=-
1
3•13+ln1=-
1
3;
(Ⅱ)由于f′(x)=-x2+a+
1−a
x=
(1−x)(x2+x+1−a)
x(x>0),
①当a≤1时,f(x)在(0,1)上为增函数,在区间(1,+∞)上为减函数,
故函数f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值f(1)=−
1
3+a
由题设知函数y=f(x)的最大值要大于或等于零,即a-
1
3≥0,可得
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3≤a≤1,
故当
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3≤a≤1时,函数f(x)存在零点;
②当a>1时,f(1)=a-
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3>0,f(
3a)=(1-a)ln(
3a)<0,
由函数的零点存在性定理知,函数f(x)在(1,
3a)内必存在零点;
综上可知,若函数y=f(x)有零点,a的取值范围为[
1
3,+∞).
设函数f(x)=1−a2x2+ax−lnx(a∈R).
(2011•深圳一模)已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R).
设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R)
(2014•西城区一模)已知函数f(x)=lnx-ax,其中a∈R.
已知函数f(x)=ax+lnx−1,a∈R.
已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)
(2014•杭州二模)设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),e为自然对数的底数.若f′(x)lnx>f(x)x
已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx−1,g(x)=(lnx−1)ex+x
(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx(a∈R).
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
设函数f(x)=13x3−12(2a−1)x2+[a2−a−f′(a)]x+b,(a,b∈R)
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.