神马作文网线和导数结合的两道小题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 13:11:07
线和导数结合的两道小题
已知曲线x^2+y+1=0与双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线相切,则此双曲线的焦距等于——答案为二倍根号五
已知直线y=x+2与函数y=ln(ex+a)的图像相切,其中e是自然对数的底则a为——答案为2e
已知曲线x^2+y+1=0与双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线相切,则此双曲线的焦距等于——答案为二倍根号五
已知直线y=x+2与函数y=ln(ex+a)的图像相切,其中e是自然对数的底则a为——答案为2e
（1）
双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线方程为：y=±bx
将其代入抛物线方程x^2+y+1=0中,得：
x^2±bx+1=0
相切说明上述方程有两个相等实根,即判别式Δ=0
所以：b^2-4=0
解得：b=2（因为一般规定b＞0）
所以：c=√(a^2+b^2)=√(1^2+2^2)=√5
焦距=2c=2√5
（2）
直线y=x+2斜率恒为1
函数y=ln(ex+a)的导数是y'=e/(ex+a)
两函数相切,也就是在切点处两函数斜率相等
所以y=ln（ex+a）在切点处的斜率为1
令它的导函数等于1,即,e/(ex+a)=1
解得：x=1-a/e
将x=1-a/e代入两个函数中,所得y值是相等的（因为是同一点）
将x=1-a/e 代入函数y=ln(ex+a)中,得：
y=ln[e(1-a/e)+a]=1
将x=1-a/e 代入直线y=x+2中,得：
y=1-a/e+2=3-a/e
所以
3-a/e=1
解得：
a=2e
有没看懂的,再补充吧……
双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线方程为：y=±bx
将其代入抛物线方程x^2+y+1=0中,得：
x^2±bx+1=0
相切说明上述方程有两个相等实根,即判别式Δ=0
所以：b^2-4=0
解得：b=2（因为一般规定b＞0）
所以：c=√(a^2+b^2)=√(1^2+2^2)=√5
焦距=2c=2√5
（2）
直线y=x+2斜率恒为1
函数y=ln(ex+a)的导数是y'=e/(ex+a)
两函数相切,也就是在切点处两函数斜率相等
所以y=ln（ex+a）在切点处的斜率为1
令它的导函数等于1,即,e/(ex+a)=1
解得：x=1-a/e
将x=1-a/e代入两个函数中,所得y值是相等的（因为是同一点）
将x=1-a/e 代入函数y=ln(ex+a)中,得：
y=ln[e(1-a/e)+a]=1
将x=1-a/e 代入直线y=x+2中,得：
y=1-a/e+2=3-a/e
所以
3-a/e=1
解得：
a=2e
有没看懂的,再补充吧……