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证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/17 04:18:06
证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
反证法.假设任意顶点的3条棱都不构成三角形,
设四面体ABCD最长边为AB=a,设其邻边BC=b,BD=c,AD=d,AC=e
则由假设与AB的最长性质可知:a≥d+e(过顶点A),a≥b+c(过顶点B)
于是2a≥b+c+d+e,
而由AB,BC,AC构成三角形知a<b+e,AB,BD,AD构成三角形知a<c+d
于是2a<b+c+d+e
矛盾!
所以命题成立!