若矩阵A的秩为3,那么是不是A中任意3个向量都是线性无关的?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/15 17:09:09

显然不一定,比如说是5×5的矩阵,左上角为一个3×3的秩为3的矩阵,其余的全为0,显然第4和第5列（行）线性相关.
再问：是任意3组向量，不是2组。还有，你确定第四和第五会线性相关吗？
再答：那就来个6×6的矩阵呗。我都说了除了左上角的那个矩阵，其余元素都为0了，也就是第四第五都是零向量了，明白吗？
再问：你的意思是说前三个线性无关，后三个线性相关？可是后三个为零也不一定就线性相关呀？
再答：任何向量都与零向量线性相关。当然零向量与零向量也必然线性相关。弱弱地问一句，你学过线性代数吗？
再问：

没学过我问什么，为什么后两行也会线性无关呢？
再答： β1和β2当然是线性无关的，但进行行列式的变换后变成全零后还是β1和β2吗？这一点难道绕不过来？
再问：那么就是说如果秩为2，原来的那个矩阵任意两个向量组都会线性无关是吗？
再答：不一定，任意两个不共线的向量线性无关，有可能虽然秩为2，但有部分向量是相等向量，那就不是线性无关的，可以说只要不相等就线性无关。当然如果包含零向量也不行，因为零向量和任何向量都线性相关。
再问：线代真心不容易，还是谢谢了！
再答：其实线性代数很简单，没有比较难的逻辑。只要用心去理解，把很多性质记住就好了。而且线代包含的东西也不多（行列式、矩阵、秩、线性关系、方程组等都是想通的，一条线。包括后面的二次型，相似等也都是围绕着秩在转，把秩的概念好好理解，把有关秩的性质好好整理一下理解，最好记住，然后多应用，很容易上手的）

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