神马作文网今天,我被一道题目搞晕了,是一元微积分的应用的题目!
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/23 17:02:38
今天,我被一道题目搞晕了,是一元微积分的应用的题目!
椭圆1：参数为a,b,椭圆2：参数为b,a.求相交的图形围成的面积
陈文灯上面的答案是用普通极坐标变换做的
有一女生问我,她用广义极坐标变换,就是x=bpcosa,y=apsina,代入方程,算出来答案不对,
椭圆1：参数为a,b,椭圆2：参数为b,a.求相交的图形围成的面积
陈文灯上面的答案是用普通极坐标变换做的
有一女生问我,她用广义极坐标变换,就是x=bpcosa,y=apsina,代入方程,算出来答案不对,
坐标变换那么面积元也要改变,广义极坐标的面积元是
|dx/dρ,dy/dρ|
|dx/dθ,dy/dθ|*dρdθ
=
| bcosθ, asinθ|
|-bρsinθ,aρcosθ|*dρdθ
=abρdρdθ
两个椭圆方程则变为b²ρ²cos²θ/a² + a²ρ²sin²θ/b² = 1和ρ = 1
有的时候椭圆1在2里面,有时候椭圆2在1里面,故先求出椭圆1和2交点对应的坐标,把ρ=1代入b²ρ²cos²θ/a² + a²ρ²sin²θ/b² = 1得到tanθ = ±b/a,得出4个θ（图中也可看出）是arctan(b/a),π-arctan(b/a),π+arctan(b/a),-arctan(b/a),4个θ和4个半坐标轴把区域分成8个面积相等的部分
所以原积分变成：
∫∫abρdρdθ（分成8部分）
= 8∫(arctan(b/a),π/2)dθ∫（0,ρ=1)abρdρ
= 8 * ab/2 ∫(arctan(b/a),π/2)dθ
= 4ab [π/2 - arctan(b/a)]
= 4ab arctan(a/b)
|dx/dρ,dy/dρ|
|dx/dθ,dy/dθ|*dρdθ
=
| bcosθ, asinθ|
|-bρsinθ,aρcosθ|*dρdθ
=abρdρdθ
两个椭圆方程则变为b²ρ²cos²θ/a² + a²ρ²sin²θ/b² = 1和ρ = 1
有的时候椭圆1在2里面,有时候椭圆2在1里面,故先求出椭圆1和2交点对应的坐标,把ρ=1代入b²ρ²cos²θ/a² + a²ρ²sin²θ/b² = 1得到tanθ = ±b/a,得出4个θ（图中也可看出）是arctan(b/a),π-arctan(b/a),π+arctan(b/a),-arctan(b/a),4个θ和4个半坐标轴把区域分成8个面积相等的部分
所以原积分变成：
∫∫abρdρdθ（分成8部分）
= 8∫(arctan(b/a),π/2)dθ∫（0,ρ=1)abρdρ
= 8 * ab/2 ∫(arctan(b/a),π/2)dθ
= 4ab [π/2 - arctan(b/a)]
= 4ab arctan(a/b)