什么是经济密度期望值

什么是经济密度期望值

期望值 变异数 共变异数与相关系数 变异数与共变异数之性质 柴比雪夫不等氏 动差与动差生成函数 5.1 期望值 5.1.1 单一随机变数之期望值 5.1.2 二元随机变数之期望值 5.1.3 期望值之性质 5.1.1 单一随机变数之期望值(1/4) 在前几章节,已经介绍了已知资料的平均数,在此章 节我们将介绍未知资料值的平均数,在此称之为「期 望值」. (一)随机变数之期望值 若 为随机变数X 之机率(密度)函数,则随机变数X 的平均值或期望值以 或 表示,定义如下: (1) 若X 为离散型: (2) 若X 为连续型: 参见例5.1 5.1.1 单一随机变数之期望值(2/4) 例题5.1 已知一离散型随机变数X 之机率分配如下,试求X 之期望值μ. 【解】 因为 1.0 合计 0.1 70000 0.4 50000 0.2 30000 0.3 10000 f(x)=P(X=x) X 5.1.1 单一随机变数之期望值(3/4) (二)随机变数函数之期望值 令 为随机变数X 之机率(密度)函数,则 X 之函 数 的期望值定义如下: (1)若 X 为离散型: (2)若 X 为连续型: 参见例5.4 5.1.1 单一随机变数之期望值(4/4) 例题5.4 令X 表投掷一个硬币二次,出现正面的次数,且 (式中 表示当投掷两次正面,则可获利100元,而投掷两 次均反面,则损失100元,若仅投掷一个正面则没有输赢),试 求 之期望值 . 【解】 因为随机变数X 的机率分配如下: 所以 之期望值为 1 1/4 1/2 1/4 f(x) 合计 2 1 0 x 5.1.2 二元随机变数之期望值(1/6) (一)二元随机变数之期望值 (1)若 为离散型,则 (2)若 为连续型,则 5.1.2 二元随机变数之期望值(2/6) (二)二元随机变数函数之期望值 (1)若 为离散型,则 (2)若 为连续型,则 参见例5.5 参见例5.6 5.1.2 二元随机变数之期望值(3/6) 例题5.5 下表为民众对市政府满意程度之机率分配:(X 表年龄层,Y 表满意分数:最低分1分;最高分5分) 试求:(1) (2) 0.1 0.4 0.35 0.15 0 总和 0.5 0 0.2 0.2 0.1 0 1(表大於,小於30岁) 0.5 0.1 0.2 0.15 0.05 0 0(表小於30岁) 总和 5 4 3 2 1 X Y 5.1.2 二元随机变数之期望值(4/6) 承上页 【解】 (1) 因此民众对市政府之平均满意分数为3.45,即民众对 市政府之平均满意程度为介於普通与满意之间. (2) 5.1.2 二元随机变数之期望值(5/6) 例题5.6 令二元随机变数 之联合机率密度函数 试求:(1) 及 (2) 【解】 (1) 5.1.2 二元随机变数之期望值(6/6) 承上页 (2) 5.1.3 期望值之性质(1/2) 定理5-1 若X 为一随机变数,且a,b为常数,则 推理5-2 若b为一常数,则 E(b)=b. 定理5-3 令q1(X),q2(X)为随机变数X之函数,则 5.1.3 期望值之性质(2/2) 定理5-4 令 为二元随机变数,q1(X,Y),q2(X,Y)为 随机变数 之函数,则 推理5-5 若 (X,Y) 为一二元随机变数,则 定理5-6 若X,Y 为独立之随机变数,则 5.2 变异数 5.3 共变异数与相关系数 5.3.1 二元随机变数之变异数 5.3.2 共变异数与相关系数 5.2 变异数(1/4) (一)随机变数之变异数 令X 为一随机变数且μ为其平均数,则 X 的变异数以 或 表示,其定义如下: 由上述定义,我们可得以下结果: (1)若 X 为离散型:令 为其所有变量,且为 其机率函数,则 (2)若 X 为连续型:令 为其机率密度函数,则 定理5-7 之计算公式 参见例5.9 参见例5.10 5.2 变异数(2/4) 例题5.9 假设一随机变数X 的机率分配如下: 试求 及 【解】 0.3 0.4 0.3 f(x) 3 2 1 x 5.2 变异数(3/4) 例题5.10 若随机变数X 的机率密度函数 ,试求 及 【解】 (1) (2) 5.2 变异数(4/4) (二)随机变数之标准差 令X 为一随机变数且 为其变异数,则 X 的标准差定义为 由上述之定义可得例5.9之随机变数 X 之标准差为 5.3.1 二元随机变数之变异数(1/4) 若 为一二元随机变数,则 (1)若 为离散型,则 (2)若 为连续型,则 参见例5.12 参见例5.13 5.3.1 二元随机变数之变异数(2/4) 例题5.12 承例5.5,求随机变数 Y 之变异数 及标准差 【解】 因为 且 因此变异数与标准差分别为 5.3.1 二元随机变数之变异数(3/4) 例题5.13 承例5.6,若 之联合机率密度函数为 求随机变数 X , Y 之变数 及 . 【解】 (1)由例5.6得知 且 5.3.1 二元随机变数之变异数(4/4) 承上页 (2)同理, ,且 5.3.2 共变异数与相关系数(1/6) (一)共变异数 二元随机变数 之共变异数,以或 表示,定义如下: 定理5-8 推理5-9 若X,Y为独立之随机变数,则 参见例5.14 5.3.2 共变异数与相关系数(2/6) 例题5.14 承例5.5,求二元随机变数X,Y 之共变异数 【解】 由例5.5得知, 即随机变数X,Y 具有负的线性相关. 5.3.2 共变异数与相关系数(3/6) (二)共变异数之意义 若 为一二元随机变数, 当,则表示随机变数X,Y 具有正的线性相关. 当,则表示随机变数X,Y 具有负的线性相关. 当,则表示随机变数X,Y 不具线性关系. (三)相关系数 二元随机变数之相关系数,以 表示,其定义如下: 5.3.2 共变异数与相关系数(4/6) (四)相关系数之意义 若 为一二元随机变数,则 当,表示随机变数X,Y 具有完美的正线性关系. 当,表示随机变数X,Y 具有完美的负线性关系. 当,表示随机变数X,Y 不具线性关系. 另外,当 愈大,则X,Y的线性关系程度愈大. 参见例5.17 5.3.2 共变异数与相关系数(5/6) 例题5.17 若, 表两种产品之销售量,其联合机率分配如下: 求X,Y 之相关系数 及其代表之意义. 0.3 7 3 0.4 5 2 0.3 3 1 f(x, y) y x 5.3.2 共变异数与相关系数(6/6) 承上页 【解】 因为 所以, 因此, 即 具有完美的正线性相关,此结果显示,两种产品有密切 之相关性.而观察两者之图形,我们可以 来表示其关系. 5.4 变异数与共变异数之性质 5.5 柴比雪夫不等式 5.6 动差与动差生成函数 5.4 变异数与共变异数之性质(1/2) 定理5-10 若 X 为一随机变数且 a,b 为常数,则 定理5-11 若 X 为一随机变数且 b 为常数,则 (1) (2) 定理5-12 若 (X,Y) 为一二元随机变数且a,b为常数,则 5.4 变异数与共变异数之性质(2/2) 推理5-13 若 (X,Y) 为一二元随机变数,则 推理5-14 若X,Y 为独立之随机变数,则 定理5-15 若 (X,Y) 为一二元随机变数,则 定理5-16 若 X 为一随机变数,则 5.5 柴比雪夫不等式(1/2) 它显示了任何一组资料至少有 比例个观测值 落在距离平均数 k 个标准差之内. 定理5-17 若随机变数 X 之平均数为 ,变异数为 且,则 参见例5.19 5.5 柴比雪夫不等式(2/2) 例题5.19 若随机变数 X 之平均数 ,变异数 (1)请以柴比雪夫不等式估计 (2)请以柴比雪夫不等式估计 【解】 (1)由柴比雪夫不等式得知, 因此 至少为24∕25. (2)因为 因此 至多为1∕4. 5.6 动差与动差生成函数(1/9) (一)r 阶动差 若 为随机变数X 之机率(密度)函数,则随机变数 X的 r 阶动差为 (1)若X 为离散型:
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