（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=−x3+x2+bx+c，(x＜1)alnx，(x≥1)和图象过坐标原点O，且在
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 12:50:09
（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=
| | −x
（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，∴f′（x）=-3x2+2x+b
∵函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，∴f′（-1）=-5
∴-3-2+b=-5，∴b=0
∵f（0）=0，∴c=0
∴b=0，c=0
（2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，∴f′（x）=-3x2+2x
令f′（x）=0有-3x2+2x=0，∴x=0或x=
2
3
令f′（x）＞0，可得0＜x＜
2
3；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或
2
3＜x≤1
∴函数在-1，0，
2
3，1出取得最值
∵f（-1）=2，f（0）=0，f（
2
3）=
4
27，f（1）=0
∴函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0；
（3）设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x1，f（-x1）），
∵OP⊥OQ，∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1
①当x1=1时，f（x1）=0；当x1=-1时，f（-x1）=0，∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1≠-1；
②当-1＜x1＜1时，f（x1）=−x13+x12，f（-x1）=x13+x12，代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1，可得(−x13+x12)(x13+x12)＝x12，∴x14−x1
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