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(2013•百色)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/17 11:05:34
(2013•百色)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合),连结EB、ED.
(1)如果∠CBD=∠E,求证:BC是⊙O的切线;
(2)当点E运动到什么位置时,△EDB≌△ABD,并给予证明;
(3)若tanE=
3
3
(2013•百色)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合
(1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即∠ABD+∠BAD=90°.
又∵∠CBD=∠E,∠BAD=∠E,
∴∠ABD+∠CBD=90°,即∠ABC=90°.
∴BC⊥AB.
∴BC是⊙O的切线.

(2)当点E运动到DE经过点O位置时,△EDB≌△ABD.证明如下:
当点E运动到DE经过点O位置时,∠EBD=∠ADB=90°,
在△EDB与△ABD中,

∠EBD=∠ADB
∠ABD=∠E
BD=DB,
∴△EDB≌△ABD(AAS).

(3)如图,连接OD,过点O作OF⊥AD于点F,
∵∠BAD=∠E,tanE=

3
3,
∴tan∠BAD=

3
3.
又∵∠ADB=90°,
∴∠BAD=30°.
∵∠ABC=90°,BC=
4
3
3,
∴AB=
BC
tan∠DAB=4.
∴AO=2,OF=1,AF=AOcos∠BAD=
3.
∴AD=2
3.
∵AO=DO,
∴∠AOD=120°.
∴S阴影=S扇形OAD-S△AOD=
120π×22
360-
1
2×3=2
3×1=
4
3π-
3≈2.5.