概率典型例题

麻烦老师帮我总结一下概率这一块的典型例题，谢谢老师

解题思路： 概率
解题过程：
（2010北京理）(17)(本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求数学期望ξ。 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，， （I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ， （II）由题意知 整理得 ， 由，可得，. （III）由题意知 = = = 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= P()=P(A)P()P()= 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3 P(ξ=k)=(k=0,1,2,3) 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。 （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。 【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。 （1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = = （Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 = 所以的分布列是 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3． 各专家独立评审． (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望． 0 1 4 9 P 所以=。 在这个自然数中，任取个数． （I）求这个数中恰有个是偶数的概率； （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望． 解（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则； （II）随机变量的取值为的分布列为 0 1 2 P 所以的数学期望为 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 解 （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为. （Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4）， ∴， ∴即的分布列是 0 2 4 6 8 ∴的期望是. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3 分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第 三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列 为 0 2 3 4 5 p 0.03 P₁ P₂ P₃ P₄ （1）求q的值； （2）求随机变量的数学期望E; （3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 解 （1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,. 根据分布列知: =0时=0.03,所以 ，q=0.8. （2）当=2时, P₁= =0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24 当=3时, P₂ ==0.01, 当=4时, P₃==0.48, 当=5时, P₄= =0.24 所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ; 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）= （1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6= (2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。 所以P（=0）=P（=3）==， P（=1）=P（=2）= = P（=2）=P（=1）== P（=3）=P（=0）= = 故的分布是 0 1 2 3 P 的数学期望E=0+1+2+3=2 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件， i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+= 所以--,既， 故的分布列是 1 2 3 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数的分布列与期望． 解 设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2 表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2 则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 , . 据此算得 , , . , , . (Ⅰ) 所求概率为 　. (Ⅱ) 解法一： 的所有可能值为0，1，2，3，4，且 , , = , . . 综上知有分布列 0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 从而，的期望为 （株） 解法二： 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 从而知 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （Ⅰ）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望； （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． （Ⅰ）解：的所有可能取值为0，1，2． 依题意，得， ， ． ∴的分布列为 0 1 2 ∴ ． ………………………………（7分） （Ⅱ）解：设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件， 则，， ∴．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选说累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题连续两次答错的概率为，（已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响。） （I）求甲选手回答一个问题的正确率； （Ⅱ）求选手甲可进入决赛的概率； （Ⅲ）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望。 解答：（1）设甲选手答对一个问题的正确率为，则 故甲选手答对一个问题的正确率 3分 （Ⅱ）选手甲答了3道题目进入决赛的概率为= 4分 选手甲答了4道题目进入决赛的概率为 5分 选手甲答了5道题目进入决赛的概率为 6分 选手甲可以进入决赛的概率 8分 （Ⅲ）可取3，4，5 则有 9分 10分 11分 因此有 （直接列表也给分） 3 4 5 故 14分 某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。 （Ⅰ）求当天商品不进货的概率； （Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。 18．解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”） （Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3. （“当天商品销售量为1件”） （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”） 故的分布列为 2 3 的数学期望为 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率； （Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望. 18．解：（I）设甲胜A的事件为D， 乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F， 则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。 因为 由对立事件的概率公式知 红队至少两人获胜的事件有： 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 （II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。 又由（I）知是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立， 因此 由对立事件的概率公式得 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 0．1 0．35 0．4 0．15 因此 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]． （1）求图中x的值； （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望． 【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。 【解析】 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望. 【答案】 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （Ⅰ） 求甲获胜的概率； （Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分； (Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率. （Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率： ……2分 直方图如右所示……………………………….4分 （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 所以，抽样学生成绩的合格率是%......................................6分 利用组中值估算抽样学生的平均分 ………………….8分 ＝ ＝71 估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分 （Ⅲ）， ，”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。 ……………………………………………………12分
最终答案：略