神马作文网最小自然数原理证明数学归纳法的问题! 高手进!
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 12:07:20
最小自然数原理证明数学归纳法的问题! 高手进!
数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明.数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：自然数集是良序的.（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：对于一个已经完成上述两步证明的数学命题,我们假设它并不是对于所有的正整数都成立.对于那些不成立的数所构成的集合S,其中必定有一个最小的元素k.（1是不属于集合S的,所以k>1）k已经是集合S中的最小元素了,所以k-1是不属于S,这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立,那么也对k也应该成立,这与我们完成的第二步骤矛盾.所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立.注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式.更确切地说,两者是等价.
上面的是百科的证明 ,我有困惑.我认为要证明数学归纳法是成立的 ,即是证明他的反面不成立.
即是证明 “假设对于一系列数学命题A1 A2 A3 A4...An 如果我们证明了n=1成立,那么从Ar成立递推到Ar+1 这一操作会导致存在Ar+1是不成立的” 这个假设是错误的 ,那么请问,如何证明这个假设是错的.
数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基础上,它可以用一些逻辑方法证明.数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：自然数集是良序的.（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：对于一个已经完成上述两步证明的数学命题,我们假设它并不是对于所有的正整数都成立.对于那些不成立的数所构成的集合S,其中必定有一个最小的元素k.（1是不属于集合S的,所以k>1）k已经是集合S中的最小元素了,所以k-1是不属于S,这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立,那么也对k也应该成立,这与我们完成的第二步骤矛盾.所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立.注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式.更确切地说,两者是等价.
上面的是百科的证明 ,我有困惑.我认为要证明数学归纳法是成立的 ,即是证明他的反面不成立.
即是证明 “假设对于一系列数学命题A1 A2 A3 A4...An 如果我们证明了n=1成立,那么从Ar成立递推到Ar+1 这一操作会导致存在Ar+1是不成立的” 这个假设是错误的 ,那么请问,如何证明这个假设是错的.
”我有困惑.我认为要证明数学归纳法是成立的 ,即是证明他的反面不成立.“ 这个思路是错的,就算是证明他的反面是错的也不能证明正面肯定成立
就好像请证明苹果是家具一样,因为杯子不是苹果,杯子不是家具,所以苹果是家具,这显然是不对的
数学归纳法是从正面来证明,当n=1时成立,当n=n+1时都成立,这就是数学归纳法的精神.由1递加到所有的数都成立.
再问： 但是将数学归纳法本身作为一个命题，那么他的否定命题是假时，他自己肯定是真的呀
再答： ？这是谁告诉你的
若一个命题为真命题，则它的逆否命题也为真，只有这个。
【给一个例子：《两直线平行，同旁内角相等》这是个假命题，但《两直线平行，同旁内角不等》也不是真命题。你证明了后者，就能说前者肯定对吗】
就好像请证明苹果是家具一样,因为杯子不是苹果,杯子不是家具,所以苹果是家具,这显然是不对的
数学归纳法是从正面来证明,当n=1时成立,当n=n+1时都成立,这就是数学归纳法的精神.由1递加到所有的数都成立.
再问： 但是将数学归纳法本身作为一个命题，那么他的否定命题是假时，他自己肯定是真的呀
再答： ？这是谁告诉你的
若一个命题为真命题，则它的逆否命题也为真，只有这个。
【给一个例子：《两直线平行，同旁内角相等》这是个假命题，但《两直线平行，同旁内角不等》也不是真命题。你证明了后者，就能说前者肯定对吗】