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已知抛物线y=-x2+（k+1）+3，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/20 01:09:22
已知抛物线y=-x2+（k+1）+3，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．

（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线；
（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；
（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点．
①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线并求出此时直线BG的解析式；
②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方．
已知抛物线y=-x2+（k+1）+3，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．
（1）由题意可知：
k+1
2=1，k=1．
因此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
（2）A（-1，0），B（3，0），P（1，4）
（3）根据圆和抛物线的对称性可知：
圆心O′在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上，
设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有：PM•MN=MA•MB，
∴4•MN=2×2，即MN=1，
因此PN=5，圆O′的半径为2.5．
因此O′在x轴的上方，坐标为（1，
3
2）．
（4）①过B作⊙O′的切线交y轴于G，
设直线BO′交y轴于E，
可求得直线BO′的解析式为y=-
3
4x+
9
4．
因此E点的坐标为（0，
9
4）．
∵BG是⊙O′的切线，因此BO′⊥BG，
∴BO2=EO•OG，即9=
9
4•OG，
因此OG=4，即G点的坐标为（0，-4）
设直线BG的解析式为y=kx-4．由于直线过B点（3，0），
可得：3k-4=0，k=
4
3．
因此直线BG的解析式为y=
4
3x-4
②-4＜m＜0．
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