如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 17:29:30
如果点O是面积为1的四边形ABCD内的一点,且OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,求证:四边形ABCD
求证:四边形ABCD是正方形
求证:四边形ABCD是正方形
由点O向AB、BC、CD、AD作垂线,垂足依次为E、F、G、H.
由勾股定理,有:
OA^2=AH^2+OH^2、OA^2=AE^2+OE^2、OB^2=BE^2+OE^2、OB^2=BF^2+OF^2、
OC^2=CF^2+OF^2、OC^2=CG^2+OG^2、OD^2=DG^2+OG^2、OD^2=DH^2+OH^2,
将上述各式左右分别相加,得:
2(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2)
=(AH^2+OH^2)+(AE^2+OE^2)+(BE^2+OE^2)+(BF^2+OF^2)
+(CF^2+OF^2)+(CG^2+OG^2)+(DG^2+OG^2)+(DH^2+OH^2),
而OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,
∴(AH^2+OH^2)+(AE^2+OE^2)+(BE^2+OE^2)+(BF^2+OF^2)
+(CF^2+OF^2)+(CG^2+OG^2)+(DG^2+OG^2)+(DH^2+OH^2)=4·····①
∵S(四边形ABCD)=1,
∴S(△OAB)+S(△OBC)+S(△OCD)+S(△OAD)=1,
∴(1/2)[(AE+BE)OE+(BF+CF)OF+(CG+DG)OG+(AH+DH)OH]=1,
∴2[(AE+BE)OE+(BF+CF)OF+(CG+DG)OG+(AH+DH)OH]=4,
∴2AH×OH+2AE×OE+2BE×OE+2BF×OF+2CF×OF+2CG×OG+2DG×OG+2DH×OH=4·····②
①-②,得:
(AH-OH)^2+(AE-OE)^2+(BE-OE)^2+(BF-OF)^2
+(CF-OF)^2+(CG-OG)^2+(DG-OG)^2+(DH-OH)^2=0,
∴AH=OH、AE=OE、BE=OE、BF=OF、CF=PF、CG=OG、DG=OG、DH=OH,
∴AH=DH=OH、AE=BE=OE、BF=CF=OF、CG=DG=OG,
∴OA=OD、OA=OB、OB=OC、OC=OD,∴OA=OB=OC=OD.
∵AH=DH=OH、AE=BE=OE、BF=CF=OF、CG=DG=OG,
∴AD、AB、BC、CD依次为△OAD、△OAB、△OBC、△OCD外接圆的直径,
∴OA⊥OD、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OD,而OA=OB=OC=OD,
∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.
由勾股定理,有:
OA^2=AH^2+OH^2、OA^2=AE^2+OE^2、OB^2=BE^2+OE^2、OB^2=BF^2+OF^2、
OC^2=CF^2+OF^2、OC^2=CG^2+OG^2、OD^2=DG^2+OG^2、OD^2=DH^2+OH^2,
将上述各式左右分别相加,得:
2(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2)
=(AH^2+OH^2)+(AE^2+OE^2)+(BE^2+OE^2)+(BF^2+OF^2)
+(CF^2+OF^2)+(CG^2+OG^2)+(DG^2+OG^2)+(DH^2+OH^2),
而OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2,
∴(AH^2+OH^2)+(AE^2+OE^2)+(BE^2+OE^2)+(BF^2+OF^2)
+(CF^2+OF^2)+(CG^2+OG^2)+(DG^2+OG^2)+(DH^2+OH^2)=4·····①
∵S(四边形ABCD)=1,
∴S(△OAB)+S(△OBC)+S(△OCD)+S(△OAD)=1,
∴(1/2)[(AE+BE)OE+(BF+CF)OF+(CG+DG)OG+(AH+DH)OH]=1,
∴2[(AE+BE)OE+(BF+CF)OF+(CG+DG)OG+(AH+DH)OH]=4,
∴2AH×OH+2AE×OE+2BE×OE+2BF×OF+2CF×OF+2CG×OG+2DG×OG+2DH×OH=4·····②
①-②,得:
(AH-OH)^2+(AE-OE)^2+(BE-OE)^2+(BF-OF)^2
+(CF-OF)^2+(CG-OG)^2+(DG-OG)^2+(DH-OH)^2=0,
∴AH=OH、AE=OE、BE=OE、BF=OF、CF=PF、CG=OG、DG=OG、DH=OH,
∴AH=DH=OH、AE=BE=OE、BF=CF=OF、CG=DG=OG,
∴OA=OD、OA=OB、OB=OC、OC=OD,∴OA=OB=OC=OD.
∵AH=DH=OH、AE=BE=OE、BF=CF=OF、CG=DG=OG,
∴AD、AB、BC、CD依次为△OAD、△OAB、△OBC、△OCD外接圆的直径,
∴OA⊥OD、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OD,而OA=OB=OC=OD,
∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.
如图所示 O为四边形ABCD内任一点 求证OA+OB+OC+OD>1/2(AB+BC+CD+DA)
已知平面内的四边形ABCD和点O,且向量OA+OC=向量OB+OD,求证四边形ABCD是平行四边形
如图,若四边形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,且OA=OB=OC=OD=2/√2AB,则四边形
1.如图,点O是四边形ABCD内一点,试说明OA+OB+OC+OD>1/2(AB+BC+CD+AD).
如图,若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点o,且OA=OB=OC=OD=2分之根号2AB,则四边形ABCD是正方形
如图,若四边形ABCD的对角线AC,BD相交与点O,且OA=OB=OC=OD=2分之√2AB,则四边形ABCD是正方形吗
若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O且OA=OB=OC=OD=2分之根号2AB则四边形ABCD是正方形吗?
若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB=OC=OD=2分之根号2AB,则四边形ABCD是正方形吗?
点O是矩形ABCD内的一点 OA=1 OB=2 OC=4 则OD的长为
如图,若四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB=OC=OD=根号2分之2AB,则四边形是正方形吗?
已知O为四边形ABCD内一点,且OA,OD平分∠BAD,∠ADC.求证:∠AOD=1/2(∠B+∠C)
梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,O为四边形内一点,且OB=OC.求证:OA=OD