（2013•凤阳县模拟）把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/10/04 20:29:32

（2013•凤阳县模拟）把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）过点C作CD⊥x轴于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），

∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴
AB
AO=
BC
BO，
∴
AB
BC=
AO
BO=2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴
AB
BC=
AO
BD=
OB
DC，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵抛物线过点A（0，4），
∴设抛物线解析式为：y=ax²+bx+4，
又∵抛物线过B（2，0），C（4，1），
∴

4a+2b+4＝0
16a+4b+4＝1解得：a=
5
8，b=-
13
4，
∴抛物线解析式为：y=
5
8x²-
13
4x+4；

（2）由（1）中求出的抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为：直线x=-
b
2a=
13
5，
作A关于直线x=
13
5的对称点A′，则A′（
26
5，4），
作M关于x轴的对称点M′，则M′（0，-2），
连接A′M′交x轴于点E，交直线x=
13
5于点F，

则此时点P经过的路线最短，
由对称性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′=