(2010•江苏模拟)f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x2,恒有f(αx1
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 09:31:50
(2010•江苏模拟)f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),则称f(x)为定义在D上的C函数.
(Ⅰ)试判断函数f1(x)=x2,f
(Ⅰ)试判断函数f1(x)=x2,f
(Ⅰ)f1(x)=x2是C函数,证明如下:
对任意实数x1,x2及α∈(0,1),
有f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=(αx1+(1-α)x2)2-αx12-(1-α)x22=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x2)2≤0.
即f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f1(x)=x2是C函数.
f2(x)=
1
x(x<0)不是C函数,证明如下:
取x1=-3,x2=-1,α=
1
2,
则f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=f(−2)−
1
2f(−3)−
1
2f(−1)=−
1
2+
1
6+
1
2>0.
即f(αx1+(1-α)x2)>αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f2(x)=
1
x(x<0)不是C函数.
(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m∈[0,1],
∵f(x)是R上的C函数,an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m×2m=2n;
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可证f(x)=2x是C函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时Sf=m2+m.
综上所述,Sf的最大值为m2+m.
对任意实数x1,x2及α∈(0,1),
有f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=(αx1+(1-α)x2)2-αx12-(1-α)x22=-α(1-α)x12-α(1-α)x22+2α(1-α)x1x2=-α(1-α)(x1-x2)2≤0.
即f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f1(x)=x2是C函数.
f2(x)=
1
x(x<0)不是C函数,证明如下:
取x1=-3,x2=-1,α=
1
2,
则f(αx1+(1-α)x2)-αf(x1)-(1-α)f(x2)=f(−2)−
1
2f(−3)−
1
2f(−1)=−
1
2+
1
6+
1
2>0.
即f(αx1+(1-α)x2)>αf(x1)+(1-α)f(x2).
∴f2(x)=
1
x(x<0)不是C函数.
(Ⅱ) 对任意0≤n≤m,取x1=m,x2=0,α=
n
m∈[0,1],
∵f(x)是R上的C函数,an=f(n),且a0=0,am=2m,
∴an=f(n)=f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)=
n
m×2m=2n;
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×(1+2+…+m)=m2+m.
可证f(x)=2x是C函数,且使得an=2n(n=0,1,2,…,m)都成立,此时Sf=m2+m.
综上所述,Sf的最大值为m2+m.
函数f(x)的定义域为D,若对任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D上为非减函
(1)定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0)满足:对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且
1、定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0)满足对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f
定义在R上的函数f(x) (f(x)≠0)满足:对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x>
已知函数y=f(x)是定义在区间D上的增函数,对于任意的x1,x2∈D,且x1≠x2,则式子(f(x1)-f(x2))/
若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的
已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),且
若定义在R上的函数f(X)满足:对任意X1,X2都有f(X1+X2)=f(X1)+f(X2)+1,则f(X)+1为偶函数
若定义在R上的函数f(x)满足对任意两个实数x1,x2有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则正确的是
(2011•江西模拟)定义在R上的偶函数满足:对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1
设函数f(x)是定义域在R上的函数,若对任意X1,X2都有f(X1+X2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)求f